Rekestørrelser og pris per kg

En butikk selger poser med 5 kilogram reker for 400 kroner per pose.

Poser med reker merkes ut fra hvor store rekene er.

Størrelse 50/70	Størrelse 70/90	Størrelse 90/120
Du får mellom 50 og 70 reker per kilogram.	Du får mellom 70 og 90 reker per kilogram.	Du får mellom 90 og 120 reker per kilogram.

Fasit

a) $80\mathrm{kr}/\mathrm{kg}$
b) A – størrelse 50/70 (1000 g / 20 g = 50 reker per kg)

Løsningsforslag

1-1a

Vi deler prisen på antall kilogram:

$$\frac{400\mathrm{kr}}{5\mathrm{kg}}=80\mathrm{kr}/\mathrm{kg}$$

Prisen per kilogram er $\underset{―}{\underset{―}{80\mathrm{kr}/\mathrm{kg}}}$.

1-1b

Vi finner hvor mange reker det er per kilogram når én reke veier 20 gram:

$$\frac{1000\mathrm{g}}{20\mathrm{g}}=50\text{ reker per kilogram}$$

Størrelse 50/70 betyr at det er mellom 50 og 70 reker per kilogram. En reke på 20 gram gir nøyaktig 50 reker per kilo, som er i nedre grense for denne størrelseskategorien.

Reken bør være i pose A – størrelse 50/70.

Oda sitt budsjett og sparing

Oda er elev i videregående skole. Hun ønsker seg bedre kontroll over egen økonomi og har laget et månedlig budsjett.

Inntekter:

Post	Beløp
Butikkjobb	4 500 kr
Lommepenger	600 kr

Utgifter:

Post	Beløp
Bensin til moped	500 kr
Kjøp av klær	1 200 kr
Kjøp av skolemat og drikke	1 550 kr
Bruk av mobiltelefon	350 kr
Diverse	500 kr

Oda vil spare 10 500 kroner i løpet av 11 måneder.

Fasit

Månedlig overskudd er $1000\mathrm{kr}$. Over 11 måneder sparer Oda $11000\mathrm{kr}$, som er mer enn $10500\mathrm{kr}$. Oda klarer sparemålet.

Løsningsforslag

Vi beregner månedlig overskudd:

	Beløp
Inntekter	$4500+600=5100\mathrm{kr}$
Utgifter	$500+1200+1550+350+500=4100\mathrm{kr}$
Overskudd per måned	$5100-4100=1000\mathrm{kr}$

Sparing over 11 måneder:

$$11\cdot 1000=11000\mathrm{kr}$$

Siden $11000\mathrm{kr}>10500\mathrm{kr}$, klarer Oda sparemålet sitt hvis hun følger budsjettet. Hun vil ha $\underset{―}{\underset{―}{500\mathrm{kr}}}$ til overs.

Bremselengde med formel

For å regne ut bremselengder på sommerføre kan vi bruke formelen

$$B=\frac{x^2}{2}$$

• $B$ er bremselengde (meter)
• $x$ er fart (km/h) delt på 10

På nettsidene til Viking Redningstjeneste står det at en bil som kjører i $70\mathrm{km}/\mathrm{h}$, har en bremselengde på $24,5\mathrm{m}$.

Fasit

$x=70/10=7$, $B=7^2/2=24,5\mathrm{m}$

Løsningsforslag

Formelen er $B={\displaystyle \frac{x^2}{2}}$, der $x$ er fart i km/h delt på 10.

Vi setter inn $x={\displaystyle \frac{70}{10}}=7$:

$$B=\frac{7^2}{2}=\frac{49}{2}=24,5$$

Bremselengden ved $70\mathrm{km}/\mathrm{h}$ er $\underset{―}{\underset{―}{24,5\mathrm{m}}}$, og det stemmer med verdien Viking Redningstjeneste oppgir.

Bruk enhetssirkel til å finne sinus og cosinusverdier

Figuren viser en enhetssirkel med et linjestykke $g$ som danner en vinkel $\alpha =53°$ med $x$-aksen.

Fasit

a) 0,8
b) $307\mathrm{°}$

Løsningsforslag

1-4a

I enhetssirkelen er $\sin \alpha$ lik $y$-koordinaten til punktet der linjestykket $g$ treffer sirkelen. For $\alpha =53°$ kan vi lese av figuren at punktet ligger omtrent på $y=0,8$.

$\underset{―}{\underset{―}{\sin 53°\approx 0,8}}$

1-4b

Cosinus er $x$-koordinaten i enhetssirkelen. For $\alpha =53°$ er $x$-koordinaten positiv (i første kvadrant).

Vinkler med samme cosinusverdi finnes symmetrisk om $x$-aksen. Den andre vinkelen er:

$$360°-53°=307°$$

Vi kan verifisere: $\cos 307°=\cos (-53°)=\cos 53°$ ✓

Vinkelen $\underset{―}{\underset{―}{307°}}$ har samme cosinusverdi som $\alpha =53°$.

Lise velger iPhone-modell

Lise skal kjøpe seg en ny iPhone. Prisen avhenger av minnestørrelse:

iPhone 15	Pris
128 GB minne	11 290 kr
256 GB minne	12 690 kr

Det er også mulig å abonnere på skytjenesten iCloud+:

Lagringsplass i iCloud+	Pris per måned
50 GB	12 kr

Lise regner med at hun i gjennomsnitt kommer til å fylle opp 4 GB av minnet hver måned.

Fasit

a) 32 måneder
b) 128 GB + iCloud+ (8 mnd) koster $11386\mathrm{kr}$, som er $1304\mathrm{kr}$ billigere enn 256 GB-modellen.

Løsningsforslag

1-5a

Lise fyller opp 4 GB per måned. Med 128 GB intern lagring:

$$\frac{128\mathrm{GB}}{4\text{GB/måned}}=32\text{ måneder}$$

Etter $\underset{―}{\underset{―}{32\text{måneder}}}$ er minnet fullt på 128 GB-modellen.

1-5b

Vi beregner totalkostnaden for 40 måneder for begge alternativene.

Alternativ 1 – 256 GB-modellen:

$$12690\mathrm{kr}$$

(256 GB holder i $256/4=64$ måneder, mer enn nok for 40 måneder.)

Alternativ 2 – 128 GB-modellen + iCloud+:

Minnet er fullt etter 32 måneder. De siste $40-32=8$ månedene trenger hun iCloud+:

$$11290+8\cdot 12=11290+96=11386\mathrm{kr}$$

Sammenligning:

$$12690-11386=1304\mathrm{kr}$$

Det er billigst å kjøpe 128 GB-modellen og leie iCloud+ de siste 8 månedene. Hun sparer $\underset{―}{\underset{―}{1304\mathrm{kr}}}$ sammenlignet med 256 GB-modellen.

Effekttrekant og elmotor

Figuren viser en effekttrekant som viser forholdet mellom de tre ulike effektene i en elektrisk motor og fasevinkelen $\varphi$.

• $P$ er tilført effekt (W)
• $S$ er tilsynelatende effekt (VA)
• $Q$ er reaktiv effekt (VAr)
• $\varphi$ er fasevinkelen mellom $P$ og $S$

For en enfaset elmotor får du oppgitt følgende verdier

• $U=230\mathrm{V}$
• $I=12\mathrm{A}$
• $Q=1583\mathrm{VAr}$
• $\cos \varphi =\mathrm{0,819}2$

Formelen for tilsynelatende effekt $S$ i en enfaset elmotor er $S=U\cdot I$.

I en annen enfaset elmotor er $\cos \varphi$ større, og tilsynelatende effekt $S$ er den samme som i motoren i oppgave a.

Fasit

a) $S=2760\mathrm{VA}$ og $\varphi =35\mathrm{°}$
b) Pytagoras eller bruk av $\cos \varphi =\mathrm{0,819}2$. Begge gir 2261 W.
c) Hvis $\cos \varphi$ øker så øker effektfaktoren. Mer av effekten brukes til det nyttige formålet, dermed øker $P$ og $Q$ minker.

Løsningsforslag

2-1a

Vi bruker formelen $S=U\cdot I$:

$$S=230\cdot 12=2760\mathrm{VA}$$

Vi finner fasevinkelen ved hjelp av $\cos \varphi =\mathrm{0,819}2$:

$$\varphi =\arccos (\mathrm{0,819}2)\approx 35°$$

Tilsynelatende effekt er $\underset{―}{\underset{―}{S=2760\mathrm{VA}}}$ og fasevinkelen er $\underset{―}{\underset{―}{\varphi =35°}}$.

2-1b

Vi har $S=2760\mathrm{VA}$, $Q=1583\mathrm{VAr}$ og $\cos \varphi =\mathrm{0,819}2$.

Metode 1 – bruk av $\cos \varphi$:

$$P=S\cdot \cos \varphi =2760\cdot \mathrm{0,819}2\approx 2261\mathrm{W}$$

Metode 2 – Pytagoras:

Fra effekttrekanten gjelder $S^2=P^2+Q^2$, så:

$$P=\sqrt{S^2-Q^2}=\sqrt{{2760}^2-{1583}^2}=\sqrt{7617600-2505889}=\sqrt{5111711}\approx 2261\mathrm{W}$$

Begge metodene gir samme svar.

Den aktive effekten er $\underset{―}{\underset{―}{P\approx 2261\mathrm{W}}}$.

2-1c

Tilsynelatende effekt $S$ er den samme, men $\cos \varphi$ er større (fasevinkelen $\varphi$ er mindre).

• $P=S\cdot \cos \varphi$: Når $\cos \varphi$ øker og $S$ er uendret, øker $P$.
• Fra Pytagoras: $Q=\sqrt{S^2-P^2}$: Når $P$ øker og $S$ er konstant, minker $Q$.

Aktiv effekt $P$ øker, og reaktiv effekt $Q$ minker. En høyere effektfaktor betyr at en større andel av den tilsynelatende effekten brukes til nyttig arbeid.

Stine hurtiglader elbil

Stine har kjøpt ny elbil. Hun tester bilen med å ta en hurtiglading og noterer følgende data:

	Klokkeslett	Ladestatus batteri	Levert energi
Start	12:33	28 %	0 kWh
Slutt	12:55	59 %	$18,3\mathrm{kWh}$

Fasit

a) Ca. 15 minutter
b) Estimert kapasitet ≈ 59 kWh, som stemmer godt med reklamens 60 kWh.
c) Ca. 294 km per time hurtiglading

Løsningsforslag

2-2a

Stine lader fra 28 % til 59 % = 31 prosentpoeng på 22 minutter (fra 12:33 til 12:55).

Rate:

$$\frac{22\min }{31\mathrm{\%}}\approx 0,71\min /\mathrm{\%}$$

Fra 59 % til 80 % gjenstår $80-59=21$ prosentpoeng:

$$21\cdot \frac{22}{31}=\frac{462}{31}\approx 14,9\min \approx 15\min$$

Det vil ta omtrent $\underset{―}{\underset{―}{15\mathrm{minutter}}}$ å lade fra 59 % til 80 %.

2-2b

31 prosentpoeng tilsvarer 18,3 kWh. Vi beregner full kapasitet:

$$\frac{18,3\mathrm{kWh}}{31}\cdot 100=\frac{1830}{31}\approx 59,0\mathrm{kWh}$$

Ut fra målingene er batterikapasiteten omtrent $\underset{―}{\underset{―}{59\mathrm{kWh}}}$, som er nær reklamens påstand om 60 kWh. Det kan godt stemme – avviket er på under 2 %.

2-2c

Ladeeffekten er:

$$P=\frac{18,3\mathrm{kWh}}{\frac{22}{60}\mathrm{h}}=\frac{18,3\cdot 60}{22}\approx 49,9\mathrm{kWh}/\mathrm{t}$$

Bilen bruker $0,17\mathrm{kWh}/\mathrm{km}$. Per time lading kan bilen kjøre:

$$\frac{49,9\mathrm{kWh}/\mathrm{t}}{0,17\mathrm{kWh}/\mathrm{km}}\approx 294\mathrm{km}$$

Per time hurtiglading kan elbilen kjøre omtrent $\underset{―}{\underset{―}{294\mathrm{km}}}$.

Chris lån og sparing for å ta førerkort

Chris ønsker å ta førerkort for bil. Han finner to alternativer.

Chris tror han vil trenge 8 kjøretimer i tillegg til resten av opplæringen.

Chris har ikke penger. Han vurderer å bruke kredittkort til å ta opp et lån på 25 000 kroner som han skal betale tilbake med ett terminbeløp hver måned i ett år, slik betalingsplanen nedenfor viser.

Termin	Terminbeløp	Renter	Gebyrer	Avdrag	Restgjeld
1	2321	425	0	1896	23 104
2	2321	393	0	1928	21 176
3	2321	360	0	1961	19 215
4	2321	327	0	1994	17 221
5	2321	293	0	2028	15 193
6	2321	258	0	2062	13 131
7	2321	223	0	2097	11 034
8	2321	188	0	2133	8901
9	2321	151	0	2169	6732
10	2321	114	0	2206	4526
11	2321	77	0	2244	2282
12	2321	39	0	2282	0

Chris finner ut at han heller vil spare 2300 kroner hver måned. Han har en sparekonto med 0,35 prosent rente per måned.

Fasit

a) Vi sjekker prisen for alternativ 1 med 8 kjøretimer.

$$3300+1580+5950+8500+8\cdot 850=26130\mathrm{kr}$$

Pakkeløsningen i alternativ 2 er rimeligere.
b) Chris har lånt 25 000 kr og han betaler tilbake $12\cdot 2321=27852\mathrm{kr}$. Differansen er $27852-25000=2852\mathrm{kr}$.
Lånet koster 2852 kr.
c)
Chris har 25 000 kr på kontoen etter han har satt inn sparebeløpet i måned 11.

Løsningsforslag

a

Vi beregner prisen for alternativ 1 med 8 kjøretimer:

$$\begin{array}{rl}& 3300+1580+5950+8500+8\cdot 850\\ =& 3300+1580+5950+8500+6800\\ =& 26130\mathrm{kr}\end{array}$$

Alternativ 2 koster $25000\mathrm{kr}$ og inkluderer de samme kursene med 8 kjøretimer.

Chris bør velge alternativ 2 (pakketilbudet). Det er $\underset{―}{\underset{―}{1130\mathrm{kr}}}$ billigere enn alternativ 1.

b

Total innbetalt med lånet:

$$12\cdot 2321=27852\mathrm{kr}$$

Lånekostnad (det ekstra han betaler):

$$27852-25000=2852\mathrm{kr}$$

Den totale kostnaden for lånet er $\underset{―}{\underset{―}{2852\mathrm{kr}}}$.

c

Formlene i de grønne cellene er:

• Renter: = forrige saldo × 0,0035
• Ny saldo: = forrige saldo + renter + innskudd

Chris har 25 000 kroner på kontoen etter at han har satt inn sparebeløpet i måned 11 (saldo ≈ 25 747 kr).

Isak reiser Oslo til Stockholm

Isak skal reise fra Oslo til Stockholm. Han finner to alternative måter:

Alternativ 1	Pris	Avgang	Ankomst	Distanse
Tog fra Oslo sentrum til Stockholm sentrum	551 kr	07:32	14:19	416 km

Alternativ 2	Pris	Avgang	Ankomst	Distanse
Tog fra Oslo sentrum til Oslo lufthavn	118 kr	07:54	08:17	48 km
Fly fra Oslo lufthavn til Stockholm lufthavn	799 kr	09:20	10:20	385 km
Tog fra Stockholm lufthavn til Stockholm sentrum	178 kr	11:13	11:52	38 km

Fasit

Alt 1 er 544 kr billigere. Alt 2 er 2 t 49 min raskere. Gjennomsnittsfart tog ≈ 61,3 km/h. CO₂: alt 1 = 4,16 kg, alt 2 = 52,1 kg. Alt 1 har 92 % lavere utslipp.

Løsningsforslag

Vi beregner og svarer på hvert av Isaks spørsmål.

Pris:

$$\text{Alt 2:}118+799+178=1095\mathrm{kr}$$$$1095-551=544\mathrm{kr}$$

Isak sparer $\underset{―}{\underset{―}{544\mathrm{kr}}}$ ved å velge alternativ 1.

---

Tid:

$$\text{Alt 1:}14:19-07:32=6\text{ t }47\text{ min}=407\text{ min}$$$$\text{Alt 2:}11:52-07:54=3\text{ t }58\text{ min}=238\text{ min}$$$$407-238=169\text{ min}=2\text{ t }49\text{ min}$$

Isak sparer $\underset{―}{\underset{―}{2\mathrm{timer}49\mathrm{minutter}}}$ ved å velge alternativ 2.

---

Gjennomsnittsfart, alternativ 1:

Vi bruker $v={\displaystyle \frac{s}{t}}$ med $s=416\mathrm{km}$ og $t={\displaystyle \frac{407}{60}}\mathrm{h}$:

$$v=\frac{416}{\frac{407}{60}}=\frac{416\cdot 60}{407}\approx 61,3\mathrm{km}/\mathrm{h}$$

Gjennomsnittsfarten til toget er $\underset{―}{\underset{―}{61,3\mathrm{km}/\mathrm{h}}}$.

---

CO₂-utslipp:

Alternativ 1 (kun tog, 416 km):

$$416\cdot 10=4160\mathrm{g}=4,16\mathrm{kg}$$

Alternativ 2 (tog + fly + tog):

$$\underset{480}{\underbrace{48\cdot 10}}+\underset{51205}{\underbrace{385\cdot 133}}+\underset{380}{\underbrace{38\cdot 10}}=52065\mathrm{g}\approx 52,1\mathrm{kg}$$

CO₂-utslipp: alternativ 1 gir $\underset{―}{\underset{―}{4,16\mathrm{kg}}}$, alternativ 2 gir $\underset{―}{\underset{―}{52,1\mathrm{kg}}}$.

---

Prosentvis lavere utslipp, alternativ 1:

$$\frac{\mathrm{52,065}-\mathrm{4,160}}{\mathrm{52,065}}\cdot 100\approx 92,0\mathrm{\%}$$

Alternativ 1 har $\underset{―}{\underset{―}{92\mathrm{\%}}}$ lavere CO₂-utslipp enn alternativ 2.

---

Vurdering:

Alternativ 1 er klart å foretrekke ut fra pris og miljø – det er 544 kr billigere og slipper ut 92 % mindre CO₂. Alternativ 2 er 2 timer og 49 minutter raskere, men den store miljøforskjellen gjør at jeg anbefaler Isak å velge alternativ 1 (direktetoget).