1T eksamen H2025

Oversikt

Del 1 — 2 timer — uten hjelpemidler

Oppgave	Navn	Temaer	Løsningsforslag
1-1	Andregradsulikhet med faktorisering	andregradslikninger, algebra	❌
1-2	Nullpunkter til tredjegradsfunksjon	algebra, polynomdivisjon	❌
1-3	Påstander om rasjonal funksjon	rasjonale funksjoner, asymptoter	❌
1-4	Bankinnskudd med rente bakover	prosentregning, geometrisk vekst	❌
1-5	Trekantareal og sin 45 grader	trigonometri, arealsetningen	❌
1-6	Femkanttall og programmering	figurtall, programmering	✔︎

Del 2 — 3 timer — med hjelpemidler

Oppgave	Navn	Temaer	Løsningsforslag
2-1	Vekt og lengde potensfunksjon	potensfunksjon, derivasjon, regresjon	❌
2-2	Aldersregnestykke med likningssystem	likningssystem, algebra	❌
2-3	Areal av firkant med trigonometri	geometri, trigonometri	❌
2-4	Gråmønster i likesidet trekant	figurtall, programmering, rekker	❌
2-5	Størst mulig rektangel under kurve	derivasjon, funksjoner, geometri	❌
2-6	Tangent til parabel og lagerhall	derivasjon, modellering, geometri	❌

Del 1

Oppgave 1-1

Andregradsulikhet med faktorisering

Oppgave

Løs ulikheten

$x^{2} + 4 x - 5 < 0$

Fasit

Oppgave 1-2

Nullpunkter til tredjegradsfunksjon

Oppgave

Bestem nullpunktene til funksjonen gitt ved $f$

$f (x) = x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 12$

Fasit

Oppgave 1-3

Påstander om rasjonal funksjon

En rasjonal funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = \frac{2 x + 6}{x^{2} + 4}

Oppgave

Hvilke av påstandene nedenfor er riktige? Husk å begrunne svarene dine.

Påstand 1: Grafen til $f$ har nøyaktig ett nullpunkt.

Påstand 2: Grafen til $f$ har ingen vertikale asymptoter.

Påstand 3: Grafen til $f$ skjærer aldri $y$ -aksen.

Påstand 4: Grafen til $f$ har horisontal asymptote $y = 2$ .

Fasit

Oppgave 1-4

Bankinnskudd med rente bakover

For fem år siden vant Oskar i Lotto. Han satte pengene i banken og har fått $4, 5 %$ rente per år. I dag har han $250 000$ kroner på kontoen.

Oppgave

Hvilket eller hvilke av uttrykkene nedenfor kan vi bruke for å regne ut hvor mye Oskar vant i Lotto?

:::

$250 000 \cdot {0,955}^{5}$
$\frac{250 000}{{1,045}^{5}}$
$250 000 \cdot {1,045}^{5}$
$250 000 \cdot {0,955}^{- 5}$
$\frac{250 000}{{0,955}^{5}}$
$250 000 \cdot {1,045}^{- 5}$

:::

Fasit

Oppgave 1-5

Trekantareal og sin 45 grader

Rettvinklet likebeint trekant

Oppgave

Bruk trekanten ovenfor til å vise at $\sin 45 ° = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Gitt en trekant $A B C$ der $A B = 3 \sqrt{2}$ , $A C = 8$ og $∠ A = 45 °$ .

Oppgave

Bestem arealet av trekanten.

Gitt en trekant $P Q R$ der $P Q = 3 \sqrt{2}$ , $P R = 8$ og $∠ P = 140 °$ .

Oppgave

Hvilken av trekantene $A B C$ og $P Q R$ har størst areal? Husk å argumentere for svaret ditt.

Fasit

Oppgave 1-6

Femkanttall og programmering

De 4 første femkanttallene

Siri arbeider med femkanttall. Hun har oppdaget en sammenheng og laget programmet nedenfor.

1234567tall = 1
differanse = 4

while tall <= 60:
	print(tall)
	tall = tall + differanse
	differanse = differanse + 3

Oppgave

Hvilke tall vil bli skrevet ut når programmet kjøres? Gjør rede for sammenhengen Siri har oppdaget.

Fasit

Løsningsforslag

Variabelen tall inneholder antall sirkler i et femkanttall slik tall utvikler seg slik tabellen viser.

$n$	tall	differanse
1	1	4
2	5	7
3	12	10
4	22	13
5	35	16
6	51	19
7	70	22

Tallene 1, 5, 12, 22, 35, 51 og 70 skrives ut av programmet.

Siri har oppdaget at antallet nye sirkler i femkanttalene (de som er tegnet oppe mot høyre i figuren) øker med 3 for hvert femkanttall.

Del 2

Oppgave 2-1

Vekt og lengde potensfunksjon

Tabellen nedenfor viser sammenhengen mellom lengde og vekt for en type fisk.

Lengde (cm)	50	70	80	100	120	130
Vekt (gram)	1190	3320	5070	9610	16 080	21 590

Sammenhengen kan beskrives med en modell gitt på formen

F (x) = a \cdot x^{b}

der $F (x)$ gram er vekten til en fisk som er $x$ centimeter lang.

Oppgave

Bruk opplysningene i tabellen til å bestemme tallene $a$ og $b$ . Tegn grafen til $F$ .
Bestem stigningstallet til den rette linjen som går gjennom punktene $(75, F (75))$ og $(95, F (95))$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.
Bestem den momentane vekstfarten når $x = 100$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.
Hvor mange prosent vil vekten av en fisk øke med dersom lengden øker med $20 %$ ifølge modellen?

Fasit

Oppgave 2-2

Aldersregnestykke med likningssystem

I dag er Abid, Therese og Harald til sammen 68 år. Therese er 17 år eldre enn Abid.

Om tre år vil Abid være dobbelt så gammel som Harald.

Oppgave

Hvor gamle er Abid, Therese og Harald i dag?

Fasit

Oppgave 2-3

Areal av firkant med trigonometri

Figur med firkant ABCD

Gitt figuren ovenfor.

Oppgave

Gjør beregninger og vis at $A C = 3$ .
Bestem arealet av firkanten $A B C D$ . Gi svaret eksakt.

Fasit

Oppgave 2-4

Gråmønster i likesidet trekant

Maria tegner en likesidet trekant. Hun deler trekanten i flere og flere små likesidede trekanter og fargelegger et mønster. Figurene nedenfor viser hvordan hun arbeider.

Mønster med likesidede trekanter

Tenk deg at Maria fortsetter å dele opp trekanten og fargelegge etter samme mønster.

Oppgave

Sett opp en algoritme Maria kan bruke for å finne summen av arealene av de 100 første trekantene som vil bli grå.
Ta utgangspunkt i algoritmen og lag et program som regner ut summen av arealene dersom arealet av den likesidede trekanten hun starter med er 36.

Fasit

Oppgave 2-5

Størst mulig rektangel under kurve

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = \frac{10}{x^{2} + 3}, x > 0

Punktene $A$ , $B$ , $C$ og $D$ danner et rektangel. Punktet $A$ ligger i origo, punktet $B$ ligger på $x$ -aksen, punktet $C$ ligger på grafen til $f$ , og punktet $D$ ligger på $y$ -aksen. Se figuren nedenfor.

Rektangel under kurven

Oppgave

Bestem arealet av rektangelet dersom punktet $B$ har koordinatene $(3, 0)$ .
Hvor på $x$ -aksen må punktet $B$ ligge for at arealet av rektangelet $A B C D$ skal bli størst mulig?

Fasit

Oppgave 2-6

Tangent til parabel og lagerhall

Snitt av lagerhall

En arkitekt har tegnet et snitt av en lagerhall. Lagerhallen er 20 meter høy og har form som en parabel gitt ved

p (x) = - \frac{1}{12} x^{2} + 20

På taket av lagerhallen skal det plasseres et webkamera. Webkameraet skal festes på en stang som er 3 meter lang.

Den rette linjen på figuren går gjennom punktet $(0, 23)$ og er en tangent til grafen.

Oppgave

Bestem likningen for tangenten.
Hvor langt fra veggen på lagerhallen kan en tyv bevege seg uten å bli fotografert av webkameraet?