trigonometri algebra

Begrunn hvorfor sin² u + cos² u = 1

En rettvinklet trekant har sidelengder 8, 6 og 10. Se figuren under.

Vis at

Fasit

Løsningsforslag

Alternativ 1

Vi har at $\sin u=\frac{8}{10}$ og $\cos u=\frac{6}{10}$.

Alternativ 2: bruke pytagoras

Vi har $\sin u=\frac{8}{10}⟺8=10\sin u$ og $\cos u=\frac{6}{10}⟺6=10\cos u$

Vi kan bruke pytagoras på trekanten og sette opp

$\underset{―}{\underset{―}{{(\sin u)}^2+{(\cos u)}^2=1}}$, som skulle vises.[^1]

Andregradsuttrykk skjæringspunkter med x-aksen

Funksjonen $f$ er gitt ved

Fasit

$x=4\vee x=-2$

Løsningsforslag

Vi kan faktorisere ved hjelp av heltallsmetoden. Jeg ser at:

Ved å sette funksjonen lik null finner jeg nullpunktene

Funksjonen krysser $x$-aksen ved $x=4$ og $x=-2$.

Faktorisering av tredjegradsuttrykk v23

Gitt likningen

Fasit

$a=2\wedge b=6$

Løsningsforslag

Hvis likningen skal være en identitet så må uttrykkene på høyre side og venstre side være like for alle $x$.

Vi ser av faktoriseringen at $(x-1)$ er en faktor i $x^3-5x^2-8x+12$. Det enkleste er nok derfor å dividere begge sider av likningen med $(x-1)$.[^3] Venstre side blir da:

Jeg utfører divisjonen på begge sider av den opprinnelige likningen og får

Jeg ser at $\underset{―}{\underset{―}{a=2\wedge b=6}}$ for at likningen skal bli en identitet.

Lag funksjonsuttrykk til grafen av rasjonal funksjon

Nedenfor ser du grafen til en rasjonal funksjon $f$.

Bestem $f(x)$. Husk å argumentere for at svaret ditt er riktig.

Fasit

En mulighet er $f(x)=\frac{3x-6}{x-1},D_f=\mathbb{R}\setminus \{1\}$

Løsningsforslag

Jeg ser at vi skal lage en rasjonal funksjon på formen $f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$.

Det er en vertikal asymptote og bruddpunkt ved $x=1$, det betyr at uttrykket i nevneren vår må ha nullpunkt i $x=1⟹Q(1)=0$.

Det er en horisontal asymptote ved $y=3$. Det betyr at $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{P(x)}{Q(x)}=3$. For at det skal være mulig må polynomene i teller og nevner ha samme grad. Dette ligner på en rasjonal funksjon med førstegradsuttrykk i teller og nevner der koeffisienten foran $x$ i telleren er 3 ganger så stor som koeffisienten foran $x$ i nevneren.

Jeg lar $Q(x)=x-1$ siden dette er et førstegradsuttrykk som vil gi riktig bruddpunkt.

Vi har nå tre krav til $P(x)$:

• $P(x)$ skal ha samme grad som $Q⟹P$ må være førstegradsuttrykk $ax+b$
• $P(x)$ skal ha 3 ganger så stor koeffisient som $Q(x)⟹P(x)=3x+b$
• $f(x)$ har et nullpunkt i $x=2⟹P$ skal ha nullpunkt i $x=2⟹P(2)=0$

For å oppfylle det siste kravet må $P$ være på formen $P(x)=3x+b$, der $b$ må være slik at $P(2)=0$.

Et funksjonsuttrykk som passer til grafen er

Kommentar: Jeg tolker oppgaveteksten som at vi skal finne én funksjon $f(x)$ som passer til grafen. Generelt vil alle uttrykk på formen $\frac{3cx-6c}{cx-c}$ der $(c\in \mathbb{R})\wedge (x\in \mathbb{R}\setminus \left\{1\right\})$ passe til grafen, så det kan godt være at dette generelle uttrykket er et bedre svar på oppgaven.

Skisser grafen ut fra den deriverte v23

Ovenfor ser du grafen til den deriverte av en funksjon $f$.

Nullpunktene til $f$ er $x=-4,x=-2,x=4$ og $x=6$

Lag en skisse som viser hvordan grafen til $f$ kan se ut.

Husk å argumentere for hvorfor du mener skissen er riktig.

Fasit

Se løsningsforslaget

Løsningsforslag

Jeg vet at den deriverte er null i de stasjonære punktene til en funksjon. Når den deriverte er positiv så vokser grafen. Når den deriverte er negativ så minker grafen.

Jeg ser at $f$ har bunnpunkt i $x=-3,12$ og $x=5,12$ (det må være bunnpunkt siden den deriverte beveger seg fra den negative siden til den positive siden ved disse punktene). $f$ må, med samme begrunnelse, ha et toppunkt i $x=1$.

Vi har nullpunkter ved $x=-4$, $x=-2$, $x=4$ og $x=6$.[^2]

For å skissere grafen så starter jeg med nullpunktene og tegner inn passende bunnpunkter og toppunkt ved $x$-verdiene jeg fant tidligere.

\clearpage

Gjennomsnittstemperatur på Svalbard

De siste årene har Lars bodd på Svalbard fra 1. februar til 1. oktober. Hvert år har han målt temperaturen utenfor huset sitt på ulike tidspunkt noen dager hver uke.

Han har funnet at funksjonen $T$ gitt ved

er en rimelig bra modell for gjennomsnittstemperaturen $T(x{)}^{\circ }\mathrm{C}$ hvert døgn de månedene han bor på Svalbard, når han lar $x=2$ svare til 1. februar, $x=3$ til 1. mars, $x=4$ til 1 . april og så videre.

Denne oppgaven har også én c)-oppgave som passer for 1T: Gjennomsnittstemperatur på Svalbard og den deriverte

Fasit

a) ca 95–96 døgn
b) Gjennomsnittlig vekstfart er 5,04. Gjennomsnittlig øker temp med 5,04 ºC per måned

Løsningsforslag

2-1a

Jeg tegnet grafen til funksjonen og fant skjæringspunktene ved $x$-aksen, hvor temperaturen er 0 °C, se punkt $B$ og $C$.

Det er $8,906-5,772=3,134$ måneder mellom skjæringspunktene. Jeg setter at det er 30,5 døgn i hver måned slik at vi får:

Temperaturen er over 0 °C i omtrent 96 døgn

2-1b

Jeg la inn punktene i GeoGebra, dro en linje mellom dem og fant stigningstallet, se $b=5.04$ i utklippet.

Stigningstallet til linja gir den gjennomsnittlige vekstfarten fra $x=3$ til $x=7$.

Temperaturen steg med 5,04 grader per måned i gjennomsnitt i perioden fra 1. mars til 1. juli.

2-1c

Jeg tegnet $T^{\prime }$ sammen med $T$ i koordinatsystemet og fant nullpunkter og ekstremalpunkter til $T^{\prime }$.

Jeg sammenlignet disse punktene med tilsvarende punkter på grafen til $T$.

Nullpunktene til $T^{\prime }$ ligger ved samme $x$-verdi som ekstremalpunktene til $T$. $y$-koordinatene til nullpunktene til $T^{\prime }$ er selvsagt null, og det stemmer godt med at vekstfarten i ekstremalpunktene til $T$ er null. Ved hjelp av nullpunktene til $T^{\prime }$ finner vi den kaldeste temperaturen i bunnpunktet 23. februar og den varmeste temperaturen i toppunktet 10. juli.

Toppunktet til $T^{\prime }$ er er ved $x=4,69$ og $y=6,94$. Det vil si at rundt den 21. april vil temperaturen øke raskest. Gjennomsnittstemperaturen stiger raskest med 6,94 grader per måned rundt 21. april.

Bunnpunktet til $T^{\prime }$ er er ved $x=9,90$ og $y=-6,62$. Det vil si at rundt den 27. september vil temperaturen synke raskest. Gjennomsnittstemperaturen synker raskest med 6,62 grader per måned rundt 27. september.

Gjennomsnittstemperatur på Svalbard og den deriverte

De siste årene har Lars bodd på Svalbard fra 1. februar til 1. oktober. Hvert år har han målt temperaturen utenfor huset sitt på ulike tidspunkt noen dager hver uke.

Han har funnet at funksjonen $T$ gitt ved

er en rimelig bra modell for gjennomsnittstemperaturen $T(x{)}^{\circ }\mathrm{C}$ hvert døgn de månedene han bor på Svalbard, når han lar $x=2$ svare til 1. februar, $x=3$ til 1. mars, $x=4$ til 1 . april og så videre.

Fasit

c) Se løsningforslaget

Løsningsforslag

Jeg tegnet $T^{\prime }$ sammen med $T$ i koordinatsystemet og fant nullpunkter og ekstremalpunkter til $T^{\prime }$.

Jeg sammenlignet disse punktene med tilsvarende punkter på grafen til $T$.

Nullpunktene til $T^{\prime }$ ligger ved samme $x$-verdi som ekstremalpunktene til $T$. $y$-koordinatene til nullpunktene til $T^{\prime }$ er selvsagt null, og det stemmer godt med at vekstfarten i ekstremalpunktene til $T$ er null. Ved hjelp av nullpunktene til $T^{\prime }$ finner vi den kaldeste temperaturen i bunnpunktet 23. februar og den varmeste temperaturen i toppunktet 10. juli.

Toppunktet til $T^{\prime }$ er er ved $x=4,69$ og $y=6,94$. Det vil si at rundt den 21. april vil temperaturen øke raskest. Gjennomsnittstemperaturen stiger raskest med 6,94 grader per måned rundt 21. april.

Bunnpunktet til $T^{\prime }$ er er ved $x=9,90$ og $y=-6,62$. Det vil si at rundt den 27. september vil temperaturen synke raskest. Gjennomsnittstemperaturen synker raskest med 6,62 grader per måned rundt 27. september.

Bredden av teltplassen

En gruppe speidere har slått opp telt ved en elv. De har et tau som er 80 m langt, og fire pinner. Tauet og pinnene skal de bruke til å sette opp et gjerde rundt teltet. Området de gjerder inn, skal ha form som et rektangel, og de vil ikke sette opp gjerde langs elven. Se skissen ovenfor.

Herman påstår at arealet av området blir størst dersom lengden er dobbelt så lang som bredden.

Josefine lurer på om de kan tegne en graf som viser at Herman har rett. Hun prøver å sette opp et funksjonsuttrykk som hun kan bruke.

Fasit

a) 600 m²
b) Herman har rett
c) En mulighet er $A(x)=x\cdot (80-2x)$

Løsningsforslag

2-2a

Med 80 m tau og et område med lengde 60 m så har de 20 m igjen å fordele til de to siste sidene. Matematisk kan vi skrive $\frac{80-60}{2}=10$. Bredden blir altså 10 m.

Arealet av området er 600 m².

2-2b

Jeg satte opp en oversikt i Excel, se formlene i formelutklippet. Vi ser at arealet øker når bredden øker helt fram til lengden er 40 m og bredden er 20 m, deretter minker arealet.

Hermann har rett i at vi får det største arealet dersom lengden er dobbelt så lang som bredden.

2-2c

La oss kalle bredden i meter for $x$. Da må lengden i meter være $80-2x$. Vi kan sette opp et funksjonsuttrykk for arealet $A(x)$ der bredden er $x$ meter.

\

Jeg tegnet denne grafen i GeoGebra og fant toppunktet, se punkt $B$.
Toppunktet ligger ved bredden $x=20$, så Hermann sin påstand er riktig.

Areal av firkant ved hjelp av trigonometri

I denne oppgaven skal du vise at du kan bruke trigonometri til å bestemme arealet av figuren ovenfor.

Fasit

$A=50,78$

Løsningsforslag

Jeg delte firkant $ABCD$ i to trekanter: $ABC$ og $ACD$, se den vedlagte skissen. Jeg brukte cosinussetningen på $ABC$ med $AC$ som den ukjente siden, se linje 5 i CAS. På den måten fant jeg $A{C}^2=99,12$.

$A{C}^2$ kunne jeg bruke til cosinussetningen på trekant $ACD$. Jeg kjente nå alle de tre sidene slik at kunne jeg bestemme $\mathrm{\angle }D=80,47\mathrm{°}$ i linje 6.

For å finne arealet av $◻ABCD$ brukte jeg arealsetningen på begge trekantene og la sammen de to arealene i linje 7.

Arealet av $◻ABCD$ er 50,78.

Areal under graf med programmering

Nedenfor ser du grafen til funksjonen $f$ gitt ved

Thea ønsker å bestemme en tilnærmet verdi for arealet av det grønne området som
er avgrenset av $x$-aksen, $y$-aksen og grafen til $f$.

Hun vil gjøre dette ved å legge sammen arealene av små rektangler. Hun begynner som vist på figur 2 og figur 3 nedenfor og vil så øke antall rektangler for å få en bedre tilnærming.

a) Bestem arealet av de seks rektanglene i figur 2

b) Lag et program som Thea kan bruke når hun skal øke antallet rektangler. Du kan for eksempel begynne som vist nedenfor.

def f(x):
    return 1 / 9 * (x + 1) * (x - 6) ** 2   # Definerer funksjonen

x_min = 0                                   # Startverdi for x
x_maks = 6                                  # Sluttverdi for x

n = 6000                                    # antall rektangler

bredde =                                    # bredden av hvert rektangel

c) Bruk programmet til å bestemme arealet dersom hun bruker 6000 rektangler.

Fasit

a)$\frac{196}{9}$
b) Se LF
c) 20,002

Løsningsforslag

2-4a

Jeg ser at alle rektanglene har bredde 1. Arealet av hvert rektangel er derfor $A_{◻}=h\cdot b=h\cdot 1=h$. Høyden til rektangelet er gitt ved $f(x)=\frac{1}{9}(x+1)(x-6{)}^2$ hvor $x\in \{0,1,2,3,4,5\}$.

Jeg legger sammen funksjonsverdiene i CAS og finner at det samlede arealet er

2-4b

def f(x):
    return 1 / 9 * (x + 1) * (x - 6) ** 2   # Definerer funksjonen

x_min = 0                                   # Startverdi for x
x_maks = 6                                  # Sluttverdi for x

n = 6000                                    # antall rektangler

bredde = (x_maks - x_min) / n               # bredden av hvert rektangel

x = x_min                                   # vi starter med å finne
                                            # f(x) ved f(x_min)
areal = 0                                   # lager en variabel som summerer
                                            # arealet
for i in range(n):
    areal_rektangel = bredde * f(x)         # beregener arealet til rektangelet
    areal = areal + areal_rektangel         # summerer arealet av rektangelet
                                            # og det totale arealet
    x = x + bredde                          # flytter x-verdien bortover langs
                                            # x-aksen tilsvarende bredde av rekt
print(f"Arealet av rektanglene er {areal:.3f}")

import numpy as np
def f(x):
   return 1 / 9 * (x + 1) * (x - 6) ** 2 # Definerer funksjonen

x_min = 0                           # Startverdi for x
x_maks = 6                          # Sluttverdi for x

n = 6000                            # antall rektangler

bredde = (x_maks - x_min) / n       # bredden av hvert rektangel

x = np.linspace(x_min, x_maks, n+1) # lager array med x-verdier
y = f(x)                            # regner ut funksjonsverdien
                                    # f(x) for hver x
areal = sum(f(x)*bredde)            # multipliserer bredde med høyde
									   # og summerer til slutt
print(f"Arealet av rektanglene er {areal:.3f}")

2-4c

Bruker programmet jeg lagde i 4b. Det gir utskriften Arealet av rektanglene er 20.002.

Areal av trekant i sirkel

Punktene $A,B$ og $C$ ligger på en sirkel med sentrum i $S$ og radius $r$.

$\mathrm{\angle }SBA={30}^{\circ }$ og $\mathrm{\angle }BSC={90}^{\circ }$

Arealet av $\mathrm{△}ABC$ er $2\sqrt{3}+6$

Se figuren ovenfor.

Fasit

$r=2\sqrt{2}$

Løsningsforslag

Jeg ser at $\mathrm{△}SBC$ og $\mathrm{△}ABS$ er likebeinte trekanter med to sider med lengde $r$.

Jeg har fått oppgitt arealet $A=2\sqrt{3}+6$, derfor ønsker jeg å bruke arealsetningen til å bestemme $r$. Jeg ser at det er mulig å bruke arealsetningen med $BC$, $AB$ og $\mathrm{\angle }B$.

For å bestemme $BC$ brukte jeg pytagoras i linje 1 og fant $BC=\sqrt{2}|r|$. Dette er lik $\sqrt{2}r$ siden radius alltid må være positiv.

For å bestemme $AB$ fant jeg først vinkelen $\mathrm{\angle }SAB=\mathrm{\angle }SBA=30\mathrm{°}$ siden $\mathrm{△}ABS$ er likebeint. Da må $\mathrm{\angle }ASB=120\mathrm{°}$. Deretter brukte jeg cosinussetningen i linje 2 på trekant $ABS$ med $AB$ som den ukjente siden. Igjen kan vi se bort fra negative løsninger og $AB=\sqrt{3}r$.

Siden $\mathrm{△}SBC$ er rettvinklet og likebeint må $\mathrm{\angle }SBC=45\mathrm{°}$. Jeg satt derfor opp arealsetningen på $\mathrm{△}ABC$ i linje 3 og løste likningen med det oppgitte arealet i linje 4.

Tredjegradsfunksjoner uten førstegradsledd

Trym og Eira arbeider med oppgaven nedenfor.

TRYM: Funksjonsuttrykket har ikke et førstegradsledd. Da må det være slik.

TRYM: Ja, i alle fall for alle tredjegradsfunksjoner. Det har jeg lært meg.

Fasit

a) Topp i $(0,2)$ og bunn i $(2,-2)$.
b) Det vil alltid være et stasjonært punkt på $y$-aksen for slike funksjoner.

Løsningsforslag

2-6a

Jeg tegnet grafen til $f$ i GeoGebra og fant ekstremalpunktene, se $A$ og $B$ i utklippet.

$f$ har toppunkt i $(0,2)$ og bunnpunkt i $(2,-2)$.

2-6b

Tredjegradsfunksjoner uten førstegradsledd har den generelle formen

Den deriverte $P^{\prime }(x)$ gir oss den momentane vekstfarten for hver $x$-verdi. Når den momentane vekstfarten er lik null så verken vokser eller minker funksjonen $⟹$ vi må da befinne oss i et stasjonært punkt.

Vi ser at $x=0$ alltid vil gi et stasjonært punkt i $(0,P(0))$ for slike tredjegradsfunksjoner. Stasjonære punkter er ikke bare topp- eller bunnpunkter, det kan også være terrassepunkter slik som grafen til $x^3$ viser.

Ved å tegne grafen til $P(x)=a{x}^3+b{x}^2+c$ i GeoGebra og justere på glidere for $a,b,c$ så ser det ut til at vi kun får terrassepunkter dersom $b=0$. Hvis $b\ne 0$ så ser det ut til at vi får både et toppunkt og et bunnpunkt. Hvis $b>0$ så er det bunnpunktet som befinner seg på $y$-aksen og hvis $b<0$ så er det toppunktet som befinner seg på $y$-aksen. Det ser også ut til at topp- og bunnpunktet går nærmere hverandre når jeg justerer $b$ slik at den blir nærmere 0.

Vi kan også se at $b=0$ vil gi et terrassepunkt fra løsningene av $P^{\prime }(x)=0$ som vi fant tidligere. Den ene løsningen vil alltid være $x=0$. Den andre løsningen, $x=\frac{-2b}{3a}$, vil også bli null dersom koeffisienten foran andregradsleddet, $b$, er lik null. Dermed vil på vår toppunktsløsning og bunnpunktsløsning ligge i det samme punktet $⟹$ vi får et terrassepunkt.

Trym sin regel er nesten riktig. Det vil alltid være et topp- eller bunnpunkt på $y$-aksen dersom tredjegradsfunksjonen mangler førstegradsledd, men har et andregradsledd. Det vil imidlertid alltid være et stasjonært punkt på $y$-aksen dersom funksjonen mangler førstegradsleddet.

\clearpage