Buss enkeltbillett eller fleksikort

Selma er på ferie og vil bruke buss for å komme seg rundt i området. Hun vurderer om hun skal kjøpe en enkeltbillett for hver reise eller et fleksikort med 20 reiser.

• Hver enkeltbillett koster 25 kroner.
• Et fleksikort med 20 reiser koster 415 kroner.

Tenk deg at Selma kjøper et fleksikort med 20 reiser og bruker alle reisene.

Fasit

a) 17
b) 17 %

Løsningsforslag

1-1a

Siden $25\cdot 4=100$ så må $25\cdot 16=400$. Da må også $25\cdot 17=425$.

Hvis Selma kjører 16 reiser så vil hun altså betale mindre ved å kjøpe enkeltbilletter til 25 kr stk.

Hvis Selma kjører 17 reiser så lønner det seg å kjøpe fleksikort med 20 reiser.

1-1b

Prisen for 20 enkeltreiser er $25\cdot 20=500$.

Hun sparer altså $500-415=85\mathrm{kr}$. Det tilsvarer

$$\frac{85}{500}=\frac{85:5}{500:5}=\frac{17}{100}=17\mathrm{\%}$$

Hun sparer 17 % på å kjøpe fleksikort hvis hun bruker 20 reiser.

Kart og målestokk

På et kart er avstanden mellom to byer 40 cm. I virkeligheten er avstanden 20 km.

Fasit

Joggeavstander med gitte sentralmål

Jonas har notert hvor mange kilometer han har jogget hver av de siste ti dagene. Han ser at typetallet er 5 km, medianen er 8 km og gjennomsnittet er 9 km.

Fasit

Mange mulige svar. Eks. alt. 1: 5, 5, 5, 7, 8, 8, 10, 12, 15, 15 | alt. 2: 3, 5, 5, 5, 6, 10, 11, 14, 15, 16

Løsningsforslag

Vi trenger en tallrekke med 10 tall der:

• typetallet er 5 (5 km forekommer flest ganger)
• medianen er 8 km (gjennomsnittet av det 5. og 6. tallet i sortert rekkefølge er 8)
• gjennomsnittet er 9 km (summen av alle tallene er $10\cdot 9=90$)

Alternativ 1 (bruker 8 km minst én gang):

$$5,5,5,7,8,8,10,12,15,15$$

• Typetall: 5 forekommer 3 ganger ✓
• Median: ${\displaystyle \frac{8+8}{2}}=8$ ✓
• Gjennomsnitt: ${\displaystyle \frac{5+5+5+7+8+8+10+12+15+15}{10}}={\displaystyle \frac{90}{10}}=9$ ✓

Alternativ 2 (bruker ikke 8 km, minst halvparten nye tall):

$$3,5,5,5,6,10,11,14,15,16$$

• Typetall: 5 forekommer 3 ganger ✓
• Median: ${\displaystyle \frac{6+10}{2}}=8$ ✓
• Gjennomsnitt: ${\displaystyle \frac{3+5+5+5+6+10+11+14+15+16}{10}}={\displaystyle \frac{90}{10}}=9$ ✓
• Ingen 8 km ✓
• Nye tall (ikke i alt. 1): 3, 6, 11, 14, 16 – det er 5 av 10 tall som ikke ble brukt i alternativ 1 ✓

Nullpunkter og andregradslikninger

$$(x+4)(x-1)=0$$$$(x+2)(x-3)=-6$$

Selma og Tobine arbeider med likningene ovenfor.

Fasit

Vase og roser likningssystem

Fasit

Prisindeks for sjokoladepålegg

Tabellen viser prisindeksen for sjokoladepålegg i perioden 2015–2022.

År	2015	2016	2017	2018	2019	2020	2021	2022
Prisindeks for sjokoladepålegg	100	97,0	98,1	98,7	99,9	112,3	110,2	119,8

Prisen for ett bestemt merke sjokoladepålegg steg fra 35,90 kroner i 2019 til 39,90 kroner i 2022.

Fasit

Målskårere i Eliteserien 2022

Nedenfor ser du de 11 fotballspillerne skåret flest mål i Eliteserien 2022.

Rank	Spiller	Klubb	Mål
1	Amahl Pellegrino	Bodø/Glimt	25
2	Hugo Vetlesen	Bodø/Glimt	16
3	David Datro Fofana	Molde	15
3	Casper Tengstedt	Rosenborg	15
3	Tobias Heintz	Sarpsborg 08	15
6	Ole Hammerfjell Sæter	Rosenborg	14
7	Eric Bugalo Kitolano	Tromsø	13
8	Runar Espejord	Bodø/Glimt	12
8	Mohamed Ofkir	Sandefjord	12
10	Ola Brynhildsen	Molde	11
10	Johan Hove	Strømsgodset	11

For de 11 fotballspillerne som skåret flest mål i sesongen 2021, var medianen 11, gjennomsnittet 14,5 og standardavviket 6,7.

Fasit

a) Typetall: 15, variasjonsbredde: 14, median: 14
b) Gjennomsnitt: ≈ 14,5, standardavvik: ≈ 3,7
c) Gjennomsnittet er likt (≈ 14,5), men medianen er høyere i 2022 (14 mot 11) og standardavviket er lavere (3,7 mot 6,7) – scoringene er mer jevnt fordelt i 2022.

Løsningsforslag

2-2a

Datamaterialet sortert: $11,11,12,12,13,\mathbf{14},15,15,15,16,25$

• Typetall: $\underset{―}{\underset{―}{15}}$ (forekommer 3 ganger)
• Variasjonsbredde: $25-11=\underset{―}{\underset{―}{14}}$
• Median: Det 6. tallet i sortert rekkefølge (11 tall) er $\underset{―}{\underset{―}{14}}$

2-2b

Vi beregner i GeoGebra med listen $\{11,11,12,12,13,14,15,15,15,16,25\}$.

$$\text{Gjennomsnitt}=\frac{11+11+12+12+13+14+15+15+15+16+25}{11}=\frac{159}{11}\approx \underset{―}{\underset{―}{14,5}}$$

Standardavvik (beregnet med GeoGebra): $\underset{―}{\underset{―}{\sigma \approx 3,7}}$

2-2c

I 2021 var medianen 11, gjennomsnittet 14,5 og standardavviket 6,7. Vi kan se følgende:

• Gjennomsnittet er nesten likt i begge sesongene (≈ 14,5). De 11 beste spillerne scoret like mange mål totalt sett.
• Medianen er høyere i 2022 (14 mot 11). I 2022 scoret minst 6 av de 11 spillerne 14 mål eller mer, mens i 2021 scoret minst 6 spillere 11 mål eller mer. Den typiske topp-11-spilleren scoret altså mer i 2022.
• Standardavviket er lavere i 2022 (3,7 mot 6,7). Scoringene er mer jevnt fordelt i 2022 – ingen enkeltspiller dominerer like mye. I 2021 var det større forskjell mellom toppen og resten.

Boliglån månedlige terminer

Adam har tatt opp et lån på 2 500 000 kroner for å kjøpe bolig.

Han skal betale tilbake lånet i månedlige terminer. Renten er 0,33 % per måned. I tillegg må han betale et gebyr på 50 kroner per termin. Terminbeløpet skal være 13 385 kroner.

Fasit

Trekant med to løsninger

Læreren har bedt elevene tegne en trekant $ABC$ slik at $\mathrm{\angle }B=60\mathrm{°}$, $BC=8\mathrm{cm}$ og $AC=6\mathrm{cm}$.

Trym og Torgeir mener begge at de har tegnet en trekant som er slik læreren har sagt den skal være, men de ser at trekantene de har tegnet, ikke er like.

Fasit

Helsefagarbeidere presentasjon av data

Nedenfor ser du en tabell som viser antall helsefagarbeidere i Norge i perioden 2015–2022, fordelt på kjønn.

År	Menn	Kvinner
2015	2 232	17 493
2016	2 911	21 439
2017	3 558	24 785
2018	3 957	27 327
2019	4 698	30 733
2020	5 511	33 958
2021	6 447	37 357
2022	7 317	40 472

Fasit

Menn økte 228 %, kvinner 131 %, totalt 142 %. Andel menn økte fra 11,3 % til 15,3 %.

Løsningsforslag

Nedenfor presenteres datamaterialet med beregninger og to diagrammer.

Beregninger:

	2015	2022	Økning
Menn	2 232	7 317	+228 %
Kvinner	17 493	40 472	+131 %
Totalt	19 725	47 789	+142 %

• Andelen menn økte fra ${\displaystyle \frac{2232}{19725}}\approx 11,3\mathrm{\%}$ i 2015 til ${\displaystyle \frac{7317}{47789}}\approx 15,3\mathrm{\%}$ i 2022.

Kommentarer til diagrammene:

• Linjediagrammet viser at antallet helsefagarbeidere økte kraftig for begge kjønn i perioden 2015–2022, og at veksten var sterkere for menn (228 %) enn for kvinner (131 %).
• Det stablede søylediagrammet viser at andelen menn har økt fra ca. 11 % til ca. 15 %. Yrket er fortsatt sterkt dominert av kvinner, men stadig flere menn velger dette yrket.

Kvadratserie geometrisk rekke

Tenk deg at du skal tegne en serie med kvadrater der

• sidekantene i det største kvadratet er 10 cm
• sidekantene i det neste kvadratet alltid er 10 % kortere enn sidekantene i det forrige du tegnet

Tenk deg at du har veldig mange kvadrater i serien.

Tenk deg at du lager nye serier med kvadrater. Du endrer størrelsen på det største kvadratet i hver serie og lar alltid sidekantene i det neste kvadratet i serien være 10 % kortere enn sidekantene i det forrige du tegnet.

Ole påstår at $T={\displaystyle \frac{4\cdot s}{p}}\cdot 100$ er en formel for å regne ut den samlede omkretsen $T$ av kvadratene i en serie når sidekanten i det største kvadratet er $s$ og sidekantene i det neste kvadratet er $p$ % kortere enn sidekantene i det forrige.

Fasit

Klimagassutslipp eksponentiell vekst

• I 1990 var Norges klimagassutslipp på 51,3 millioner tonn CO₂-ekvivalenter.
• I 2022 var Norges klimagassutslipp på 48,9 millioner tonn CO₂-ekvivalenter.

Norske myndigheter har satt som mål at klimagassutslippet skal reduseres med 55 % innen 2030, sammenliknet med hva utslippet var i 1990.

Arne ser for seg at utslippet reduseres med en fast prosent hvert år. Han ønsker å lage en modell som viser hvor mange prosent den årlige reduksjonen må være for å nå målet i 2030.

Norge har som mål å bli et lavutslippssamfunn innen 2050. Da må klimagassutslippet reduseres med 90–95 % sammenliknet med utslippet i 1990.

Fasit