Prisindeks og brødpris

Tabellen nedenfor viser prisindeksen for brød i perioden 2015–2021.

År	2015	2016	2017	2018	2019	2020	2021
Prisindeks for brød	100,0	102,5	104,5	107,3	109,2	111,8	113,3

Prisen for ett bestemt brød steg fra 40 kroner i 2017 til 42 kroner i 2019.

Fasit

Likebeinte og formlike trekanter

Du får vite følgende om $\mathrm{△}ABC$ og $\mathrm{△}DEF$:

• $\mathrm{△}ABC$ er likebeint
• $\mathrm{△}DEF$ er formlik med $\mathrm{△}ABC$
• Arealet av $\mathrm{△}DEF$ er fire ganger så stort som arealet av $\mathrm{△}ABC$

Fasit

Løsningsforslag

Hvis arealet av $\mathrm{△}DEF$ skal være 4 ganger så stort så kan for eksempel både grunnlinjen og høyden være dobbelt så lange. Vi kan vise dette matematisk.

$$A_{\mathrm{△}ABC}=\frac{g\cdot h}{2}\text{og}{A}_{\mathrm{△}DEF}=\frac{2g\cdot 2h}{2}=4\cdot \frac{g\cdot h}{2}=4\cdot A_{\mathrm{△}ABC}$$

En enkel type likebeint trekant er rettvinklet med to like lange kateter. Da er det enkelt å lage trekantene formlike også. Se skissen under.

Nominell lønn og reallønn

Truls og Thea diskuterer økonomi.

Fasit

Likninger og ulikheter fra grafer

I koordinatsystemet nedenfor ser du grafene til tre funksjoner $f$, $g$ og $h$.

$$f(x)=x+1$$$$g(x)=x^2-4x+5$$$$h(x)=-x+5$$

Husk å argumentere for at løsningene dine er riktige.

Fasit

a) –
b) –

Løsningsforslag

a

Jeg prøver først å kjenne igjen funksjonsuttrykkene og matche dem med grafene.

• Jeg vet at rette linjer har funksjonsuttrykk $y=ax+b$. Den grønne linja passer med $f(x)$ siden stigningstallet er positivt.
• Den blå linja passer med $h(x)$ siden stigningstallet er negativt.
• $g(x)$ er en andregradsfunksjon.

For å få to løsninger så kan vi for eksempel sette opp likningen $f(x)=g(x)$. Denne har løsninger ved $x$-verdiene der grafene skjærer hverandre.

$\underset{―}{\underset{―}{f(x)=g(x)}}$ har to løsninger: $\underset{―}{\underset{―}{x=1}}$ og $\underset{―}{\underset{―}{x=4}}$.

b

Vi ser at $f$ ligger over $g$ i hele intervallet mellom $x=1$ og $x=4$. Dermed kan vi sette opp ulikheten $f(x)>g(x)$.

$\underset{―}{\underset{―}{f(x)>g(x)}}$ har løsningen $\underset{―}{\underset{―}{x\in ⟨1,4⟩}}$.

Pris på T-skjorte og bukse

Fasit

Kaffekoppers gjennomsnitt med ukjent

En morgen spør Tore 12 kolleger om hvor mange kopper kaffe de drakk dagen før. Resultatene ser du nedenfor. Dessverre har Tore sølt kaffe på arket sitt, men han antar at gjennomsnittet er mer enn fire.

Gjør beregninger og kommenter antakelsen til Tore.

Fasit

Det skjulte tallet er 2, og gjennomsnittet er nøyaktig 4 – Tores antakelse stemmer ikke.

Løsningsforslag

Tore spurte 12 kolleger. De synlige verdiene fra arket er:

$$4,5,0,4,2,6,?,5,7,5,5,3$$

Summen av de 11 kjente verdiene er

$$4+5+0+4+2+6+5+7+5+5+3=46$$

For at gjennomsnittet skal være nøyaktig 4 med 12 verdier, må totalsummen være $4\cdot 12=48$. Det skjulte tallet er altså

$$48-46=2$$

Med det skjulte tallet lik 2 blir gjennomsnittet $\frac{48}{12}=4$ – nøyaktig 4, ikke mer enn 4.

For at gjennomsnittet skal være mer enn 4, måtte det skjulte tallet ha vært minst 3.

Tores antakelse stemmer ikke. Gjennomsnittet er $\underset{―}{\underset{―}{4}}$ kopper – nøyaktig 4, ikke mer enn 4.

Prisvekst og prisfall sammenligning

Malin og Gunnvor arbeider med en oppgave. De har fått opplysningene nedenfor.

• I mai kostet to varer, A og B, like mye.
• Prisen for vare A har økt med 7 % hver måned siden januar, og vi antar at den vil fortsette å øke med 7 % hver måned framover.
• Prisen for vare B har gått ned med 7 % hver måned siden januar, og vi antar at den vil fortsette å gå ned med 7 % hver måned framover.

Malin påstår at dette betyr at vare A vil koste det samme om tre måneder som vare B kostet for tre måneder siden. Gunnvor er ikke enig.

Gjør beregninger og undersøk om Malins påstand er riktig.

Fasit

Malins påstand er feil. Vare A i august: $P\cdot 1,{07}^3\approx \mathrm{1,225}P$, vare B i februar: $P/0,{93}^3\approx \mathrm{1,243}P$.

Løsningsforslag

La prisen for begge varer i mai være $P$.

Vare A i august (tre måneder etter mai):

$$P\cdot 1,{07}^3=P\cdot \mathrm{1,225}$$

Vare B i februar (tre måneder før mai): vi går tre måneder bakover fra mai. Siden B synker med 7 % per måned, betyr å gå bakover i tid at vi deler på $0,93$ per måned:

$$\frac{P}{0,{93}^3}=P\cdot \frac{1}{\mathrm{0,804}4}\approx P\cdot \mathrm{1,243}$$

Vi sammenligner:

$$1,{07}^3\approx \mathrm{1,225}\text{og}\frac{1}{0,{93}^3}\approx \mathrm{1,243}$$

Disse er ikke like: $\mathrm{1,225}\ne \mathrm{1,243}$.

Malins påstand er $\underset{―}{\underset{―}{\text{ikke riktig}}}$. Vare A vil koste ca. 22,5 % mer enn maipris i august, mens vare B kostet ca. 24,3 % mer enn maipris i februar – de er ikke like.

Sykkelhjelm og datapresentasjon

Hver morgen venter Madelen noen minutter på skolebussen. En uke undersøkte hun hvor mange syklister som brukte sykkelhjelm. Resultatene ser du i tabellen nedenfor.

Ukedag	Syklister	Syklister med hjelm
Mandag	10	7
Tirsdag	15	9
Onsdag	11	6
Torsdag	12	7
Fredag	15	12

Madelen skal fortelle klassen sin om resultatene fra undersøkelsen.

Gjør beregninger og vis Madelen hvordan hun kan presentere datamaterialet. Presentasjonen skal inneholde både beregninger og diagrammer.

Fasit

Totalt 41 av 63 brukte hjelm (65,1 %). Daglig: man 70 %, tir 60 %, ons 54,5 %, tor 58,3 %, fre 80 %.

Løsningsforslag

Vi beregner andelen syklister med hjelm for hver ukedag og totalt:

Ukedag	Syklister	Med hjelm	Andel med hjelm
Mandag	10	7	70,0 %
Tirsdag	15	9	60,0 %
Onsdag	11	6	54,5 %
Torsdag	12	7	58,3 %
Fredag	15	12	80,0 %
Totalt	63	41	65,1 %

Totalt brukte 41 av 63 syklister hjelm, noe som tilsvarer ca. 65 %.

Andelen er høyest på fredag (80 %) og lavest på onsdag (54,5 %).

Mulige diagramtyper for presentasjonen:

• Et søylediagram der x-aksen viser ukedag og y-aksen viser andelen med hjelm (i prosent) sammenligner de ulike dagene godt.
• Et sektordiagram (kakediagram) kan vise andelen med og uten hjelm totalt for hele uken (65 % med hjelm, 35 % uten).

Lønnsnivå og sentralmål

En bedrift vil gi ut en brosjyre som blant annet skal vise lønnsnivået til de ansatte. Nedenfor ser du en oversikt som viser årslønnen til de ansatte i bedriften.

Årslønn (i tusen kroner)	Frekvens
$⟨250-350⟩$	8
$⟨350-450⟩$	42
$⟨450-500⟩$	40
$⟨500-550⟩$	20
$⟨550-600⟩$	15
$⟨600-650⟩$	3
$⟨650-750⟩$	2
$⟨750-1000⟩$	1
$⟨1000-2000⟩$	15

Ledelsen diskuterer hvilket sentralmål som er best egnet til å beskrive bedriftens lønnsnivå.

Fasit

a) Gjennomsnitt $\approx 575000\mathrm{kr}$, median $\approx 479000\mathrm{kr}$
b) Medianen er mest egnet (gjennomsnittet trekkes opp av noen svært høye lønninger).

Løsningsforslag

2-5a

Vi regner med at alle i hvert intervall tjener midtpunktet i intervallet (midtpunktmetoden).

Intervall (tusen kr)	Midtpunkt	Frekvens	Midtpunkt × frekvens
$⟨250-350⟩$	300	8	2 400
$⟨350-450⟩$	400	42	16 800
$⟨450-500⟩$	475	40	19 000
$⟨500-550⟩$	525	20	10 500
$⟨550-600⟩$	575	15	8 625
$⟨600-650⟩$	625	3	1 875
$⟨650-750⟩$	700	2	1 400
$⟨750-1000⟩$	875	1	875
$⟨1000-2000⟩$	1 500	15	22 500
Totalt		146	83 975

$$\overline{x}=\frac{83975}{146}\approx 575\text{ (tusen kr)}$$

Gjennomsnittslønnen er omtrent $\underset{―}{\underset{―}{575000\mathrm{kr}}}$.

Medianen er den midterste verdien. Med 146 ansatte er medianen mellom den 73. og 74. verdien. Kumulativ telling:

• Etter $⟨250-350⟩$: 8 ansatte totalt
• Etter $⟨350-450⟩$: 50 ansatte totalt
• Etter $⟨450-500⟩$: 90 ansatte totalt ← her ligger den 73. og 74. verdien

Vi interpolerer i intervallet $⟨450,500⟩$:

$$450+\frac{73,5-50}{40}\cdot 50=450+\frac{23,5}{40}\cdot 50\approx 450+29=479\text{ (tusen kr)}$$

Medianlønnen er omtrent $\underset{―}{\underset{―}{479000\mathrm{kr}}}$.

2-5b

Bedriften har 15 ansatte med årslønn mellom 1 000 000 og 2 000 000 kr. Disse trekker gjennomsnittet kraftig opp, til 575 000 kr, mens de fleste ansatte tjener i området 350 000–500 000 kr.

Medianen på 479 000 kr påvirkes ikke av de høye lønningene, og gir et mer representativt bilde av hva en typisk ansatt tjener.

Medianen er det mest egnede sentralmålet for å beskrive bedriftens lønnsnivå.

Parkeringsplass og prosentendring

En parkeringsplass har form som et rektangel. Parkeringsplassen skal endres. Bredden skal minskes med en gitt prosentandel, og lengden skal økes med den samme prosentandelen.

Avgjør hvilken av de tre påstandene nedenfor som er riktig. Husk å argumentere for hvorfor du mener påstanden er riktig.

Fasit

Sofies lån og nedbetalingsprogram

Sofie har tatt opp et forbrukslån på 100 000 kroner. Rentefoten er 2 % per måned. Hun skal betale ned på lånet hver måned, og terminbeløpet skal være 6378 kroner.

Sofie vil ha en nedbetalingsplan for lånet og har laget programmet nedenfor.

123456789101112131415161718192021# Definerer variabler
restlån = 100000
terminbeløp = 6378
rentefot = 2

# Overskrifter
print("Måned        Terminbeløp    Renter         Avdrag         Restlån")

for måned in range(1, 5):

    renter = 0
    avdrag = 0
    restlån = 0

    # Skriver ut i fem kolonner ved å bruke tabulatorer sep = "\t\t"
    # Runder av beløpene til to desimaler ved å bruke round
    print(måned,
        round(terminbeløp, 2),
        round(renter, 2),
        round(avdrag, 2),
        round(restlån, 2), sep = "\t\t")

Nedenfor ser du resultatet hun får når hun kjører programmet.

Måned	Terminbeløp	Renter	Avdrag	Restlån
1	6378	0	0	0
2	6378	0	0	0
3	6378	0	0	0
4	6378	0	0	0

Fasit