Buss enkeltbillett eller fleksikort

Selma er på ferie og vil bruke buss for å komme seg rundt i området. Hun vurderer om hun skal kjøpe en enkeltbillett for hver reise eller et fleksikort med 20 reiser.

• Hver enkeltbillett koster 25 kroner.
• Et fleksikort med 20 reiser koster 415 kroner.

Tenk deg at Selma kjøper et fleksikort med 20 reiser og bruker alle reisene.

Fasit

a) 17
b) 17 %

Løsningsforslag

1-1a

Siden $25\cdot 4=100$ så må $25\cdot 16=400$. Da må også $25\cdot 17=425$.

Hvis Selma kjører 16 reiser så vil hun altså betale mindre ved å kjøpe enkeltbilletter til 25 kr stk.

Hvis Selma kjører 17 reiser så lønner det seg å kjøpe fleksikort med 20 reiser.

1-1b

Prisen for 20 enkeltreiser er $25\cdot 20=500$.

Hun sparer altså $500-415=85\mathrm{kr}$. Det tilsvarer

$$\frac{85}{500}=\frac{85:5}{500:5}=\frac{17}{100}=17\mathrm{\%}$$

Hun sparer 17 % på å kjøpe fleksikort hvis hun bruker 20 reiser.

Personbiler lineær modell

I 2002 var det registrert omtrent 1,9 millioner personbiler i Norge. I 2022 var antall registrerte personbiler omtrent 2,9 millioner.

Fasit

$P(x)=1,9+0,05\cdot x$. I 2030 ($x=28$): 3,3 millioner personbiler.

Løsningsforslag

La $x$ være antall år etter 2002. Vi kjenner to punkt på grafen: $(0,1,9)$ i 2002 og $(20,2,9)$ i 2022. Stigningstallet er:

$$d=\frac{2,9-1,9}{20-0}=\frac{1,0}{20}=0,05$$

Modellen er $\underset{―}{\underset{―}{P(x)=1,9+0,05\cdot x}}$, der $P$ er antall millioner personbiler og $x$ er antall år etter 2002.

Det betyr at antallet personbiler øker med 0,05 millioner (50 000) per år.

I 2030 er $x=28$:

$$P(28)=1,9+0,05\cdot 28=1,9+1,4=3,3$$

Ifølge modellen vil det være $\underset{―}{\underset{―}{3,3\text{ millioner}}}$ registrerte personbiler i Norge i 2030.

Hvor mange ganger større er Sola enn Jorda?

Sola har en masse på ca. $2,0\cdot {10}^{30}$ kg. Jorda har en masse på $6,0\cdot {10}^{24}$ kg. Massen til sola er omtrent … ganger større enn massen til jorda.

Fasit

Solas masse er $\underset{―}{\underset{―}{3,33\cdot {10}^5}}$ ganger større enn Jordas

Løsningsforslag

Vi deler massen til sola på massen til jorda:

$$\frac{2,0\cdot {10}^{30}}{6,0\cdot {10}^{24}}=\frac{2,0}{6,0}\cdot {10}^{30-24}=\frac{1}{3}\cdot {10}^6\approx 3,3\cdot {10}^5$$

Solas masse er omtrent $\underset{―}{\underset{―}{3,3\cdot {10}^5}}$ ganger større enn Jordas masse.

Joggeavstander med gitte sentralmål

Jonas har notert hvor mange kilometer han har jogget hver av de siste ti dagene. Han ser at typetallet er 5 km, medianen er 8 km og gjennomsnittet er 9 km.

Fasit

Mange mulige svar. Eks. alt. 1: 5, 5, 5, 7, 8, 8, 10, 12, 15, 15 | alt. 2: 3, 5, 5, 5, 6, 10, 11, 14, 15, 16

Løsningsforslag

Vi trenger en tallrekke med 10 tall der:

• typetallet er 5 (5 km forekommer flest ganger)
• medianen er 8 km (gjennomsnittet av det 5. og 6. tallet i sortert rekkefølge er 8)
• gjennomsnittet er 9 km (summen av alle tallene er $10\cdot 9=90$)

Alternativ 1 (bruker 8 km minst én gang):

$$5,5,5,7,8,8,10,12,15,15$$

• Typetall: 5 forekommer 3 ganger ✓
• Median: ${\displaystyle \frac{8+8}{2}}=8$ ✓
• Gjennomsnitt: ${\displaystyle \frac{5+5+5+7+8+8+10+12+15+15}{10}}={\displaystyle \frac{90}{10}}=9$ ✓

Alternativ 2 (bruker ikke 8 km, minst halvparten nye tall):

$$3,5,5,5,6,10,11,14,15,16$$

• Typetall: 5 forekommer 3 ganger ✓
• Median: ${\displaystyle \frac{6+10}{2}}=8$ ✓
• Gjennomsnitt: ${\displaystyle \frac{3+5+5+5+6+10+11+14+15+16}{10}}={\displaystyle \frac{90}{10}}=9$ ✓
• Ingen 8 km ✓
• Nye tall (ikke i alt. 1): 3, 6, 11, 14, 16 – det er 5 av 10 tall som ikke ble brukt i alternativ 1 ✓

Sirkelfigurer og figurmønster

Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små sirkler. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.

Fasit

Løsningsforslag

Jeg ser at mønsteret ser ut som kvadrater hvor sirkelen oppe i høyre hjørne er tatt bort.

• Figur 1 er $2\times 2$ kvadrat minus en sirkel i hjørnet
• Figur 2 er $3\times 3$ kvadrat minus en sirkel i hjørnet
• Figur 3 er $4\times 4$ kvadrat minus en sirkel i hjørnet

Vi ser at kvadratet alltid har sidelengde $+1$ sammenlignet med figurnummeret. Vi kaller figurnummeret $n$ og finner sammenhengen: Figur $n$ er $(n+1)\times (n+1)$ minus en sirkel i hjørnet.

Et uttrykk for denne sammenhengen er:

$$\underset{―}{\underset{―}{F_n=(n+1{)}^2-1}}$$

Sjøtemperatur på Sørlandet

Funksjonen $T$ gitt ved

$$T(x)=-\frac{1}{1000}(\mathrm{0,002}8x^3-x^2+25x-380),0\le x\le 300$$

er en modell for temperaturen $T(x)$ grader celsius i sjøen ett sted på Sørlandet $x$ døgn etter 31. desember 2020.

Fasit

a) 13,27 ºC
b) 0,0767 ºC

Løsningsforslag

2-1a

Vi legger inn $T(x)$ i GeoGebra for å få et overblikk over temperaturen og vi bruker ekstremalpunkt for å bestemme høyeste og laveste temperatur. Se punktene $A$ og $B$.

Forskjellen mellom høyeste og laveste temperatur er 13,27 ºC.

2-1b

Måneden mars tilsvarer omtrent dagene $x=59$ til $x=90$.

Vi regner ut temperaturen for disse dagene i GeoGebra:

$$\begin{array}{rl}T(59)& =1,81\mathrm{°}\text{C}\\ T(90)& =4,19\mathrm{°}\text{C}\end{array}$$

I løpet av de 31 dagene i mars er altså gjennomsnittsstigningen:

$$\frac{4,19-1,81}{31}=\underset{―}{\underset{―}{\mathrm{0,076}7\mathrm{°}\text{C per dag}}}$$

Temperaturen stiger med 0,0767 ºC per dag i mars.

Målskårere i Eliteserien 2022

Nedenfor ser du de 11 fotballspillerne skåret flest mål i Eliteserien 2022.

Rank	Spiller	Klubb	Mål
1	Amahl Pellegrino	Bodø/Glimt	25
2	Hugo Vetlesen	Bodø/Glimt	16
3	David Datro Fofana	Molde	15
3	Casper Tengstedt	Rosenborg	15
3	Tobias Heintz	Sarpsborg 08	15
6	Ole Hammerfjell Sæter	Rosenborg	14
7	Eric Bugalo Kitolano	Tromsø	13
8	Runar Espejord	Bodø/Glimt	12
8	Mohamed Ofkir	Sandefjord	12
10	Ola Brynhildsen	Molde	11
10	Johan Hove	Strømsgodset	11

For de 11 fotballspillerne som skåret flest mål i sesongen 2021, var medianen 11, gjennomsnittet 14,5 og standardavviket 6,7.

Fasit

a) Typetall: 15, variasjonsbredde: 14, median: 14
b) Gjennomsnitt: ≈ 14,5, standardavvik: ≈ 3,7
c) Gjennomsnittet er likt (≈ 14,5), men medianen er høyere i 2022 (14 mot 11) og standardavviket er lavere (3,7 mot 6,7) – scoringene er mer jevnt fordelt i 2022.

Løsningsforslag

2-2a

Datamaterialet sortert: $11,11,12,12,13,\mathbf{14},15,15,15,16,25$

• Typetall: $\underset{―}{\underset{―}{15}}$ (forekommer 3 ganger)
• Variasjonsbredde: $25-11=\underset{―}{\underset{―}{14}}$
• Median: Det 6. tallet i sortert rekkefølge (11 tall) er $\underset{―}{\underset{―}{14}}$

2-2b

Vi beregner i GeoGebra med listen $\{11,11,12,12,13,14,15,15,15,16,25\}$.

$$\text{Gjennomsnitt}=\frac{11+11+12+12+13+14+15+15+15+16+25}{11}=\frac{159}{11}\approx \underset{―}{\underset{―}{14,5}}$$

Standardavvik (beregnet med GeoGebra): $\underset{―}{\underset{―}{\sigma \approx 3,7}}$

2-2c

I 2021 var medianen 11, gjennomsnittet 14,5 og standardavviket 6,7. Vi kan se følgende:

• Gjennomsnittet er nesten likt i begge sesongene (≈ 14,5). De 11 beste spillerne scoret like mange mål totalt sett.
• Medianen er høyere i 2022 (14 mot 11). I 2022 scoret minst 6 av de 11 spillerne 14 mål eller mer, mens i 2021 scoret minst 6 spillere 11 mål eller mer. Den typiske topp-11-spilleren scoret altså mer i 2022.
• Standardavviket er lavere i 2022 (3,7 mot 6,7). Scoringene er mer jevnt fordelt i 2022 – ingen enkeltspiller dominerer like mye. I 2021 var det større forskjell mellom toppen og resten.

Monas prisøkning

Mona eier en butikk. Hun setter opp prisen for en vare i butikken med 160 kroner. Dette tilsvarer en prisøkning på 2,5 %.

Fasit

3,75 %

Løsningsforslag

Vi finner først den opprinnelige prisen på varen. En økning på 160 kr tilsvarer 2,5 %:

$$\text{Opprinnelig pris}=\frac{160}{\mathrm{0,025}}=6400\text{ kr}$$

Dersom Mona hever prisen med 240 kr i stedet:

$$\frac{240}{6400}=\mathrm{0,037}5=3,75\mathrm{\%}$$

Prisøkningen hadde vært $\underset{―}{\underset{―}{3,75\mathrm{\%}}}$ dersom Mona hadde satt opp prisen med 240 kroner.

Prisøkning på handlenett

En elevbedrift selger grønne, svarte og blå handlenett. Prisen er den samme for hvert handlenett. Elevbedriften selger tre ganger så mange grønne som blå handlenett og dobbelt så mange svarte som blå.

Elevene bestemmer seg for å sette opp prisen for det grønne handlenettet med 5 %, det svarte med 10 % og det blå med 15 %.

Fasit

$\frac{1}{12}\approx 8,3\mathrm{\%}$

Løsningsforslag

La oss si at opprinnelig pris per handlenett er $p$ kr, og at bedriften selger 1 blå, 2 svarte og 3 grønne nett (forholdet 1 : 2 : 3 som oppgitt).

Inntekt før prisøkning:

$$1\cdot p+2\cdot p+3\cdot p=6p$$

Inntekt etter prisøkning (blå +15 %, svart +10 %, grønn +5 %):

$$1\cdot 1,15p+2\cdot 1,10p+3\cdot 1,05p=1,15p+2,20p+3,15p=6,50p$$

Prosentvis økning i inntekten:

$$\frac{6,50p-6p}{6p}=\frac{0,50p}{6p}=\frac{1}{12}\approx 8,3\mathrm{\%}$$

Inntektene vil øke med $\underset{―}{\underset{―}{\frac{1}{12}\approx 8,3\mathrm{\%}}}$.

Proporsjonalitet og vase med roser

Klassen til Emilie og Emma skal kjøpe en vase med roser i gave til læreren. De må betale for vasen og for hver rose.

I matematikktimen jobber Emilie og Emma med proporsjonalitet og omvendt proporsjonalitet.

Fasit

Emilie tar feil – antall roser og totalpris er ikke proporsjonale (vasekostnaden er fast). Emma har rett om sitt tilfelle (omvendt proporsjonalt), men hennes generelle forklaring er upresis.

Løsningsforslag

Kommentar til Emilie:

Emilie har delvis rett i at den totale prisen øker når de kjøper flere roser. Men størrelsene er ikke proporsjonale. For proporsjonalitet må forholdet mellom størrelsene alltid være konstant, og grafen må gå gjennom origo.

Totalprisen er: $\text{totalpris}=\text{vasepris}+\text{antall roser}\cdot \text{pris per rose}$

Siden vasepris er en fast kostnad, vil grafen starte over null (ikke i origo). Dermed er størrelsene ikke proporsjonale, men lineære.

Kommentar til Emma:

Emma har rett i at beløpet per person avtar når flere er med. Og hvis totalprisen er fast (de har bestemt antall roser), er produktet:

$$\text{beløp per person}\cdot \text{antall personer}=\text{totalpris (konstant)}$$

Det er nettopp kravet for omvendt proporsjonalitet – produktet av de to størrelsene er konstant. Emma har altså rett, forutsatt at det totale beløpet er bestemt på forhånd.

Emmas generelle forklaring («når en størrelse blir mindre og en annen øker, er de omvendt proporsjonale») er imidlertid ikke alltid riktig. For omvendt proporsjonalitet kreves det at produktet er konstant, ikke bare at størrelsene beveger seg i motsatte retninger.

Helsefagarbeidere presentasjon av data

Nedenfor ser du en tabell som viser antall helsefagarbeidere i Norge i perioden 2015–2022, fordelt på kjønn.

År	Menn	Kvinner
2015	2 232	17 493
2016	2 911	21 439
2017	3 558	24 785
2018	3 957	27 327
2019	4 698	30 733
2020	5 511	33 958
2021	6 447	37 357
2022	7 317	40 472

Fasit

Menn økte 228 %, kvinner 131 %, totalt 142 %. Andel menn økte fra 11,3 % til 15,3 %.

Løsningsforslag

Nedenfor presenteres datamaterialet med beregninger og to diagrammer.

Beregninger:

	2015	2022	Økning
Menn	2 232	7 317	+228 %
Kvinner	17 493	40 472	+131 %
Totalt	19 725	47 789	+142 %

• Andelen menn økte fra ${\displaystyle \frac{2232}{19725}}\approx 11,3\mathrm{\%}$ i 2015 til ${\displaystyle \frac{7317}{47789}}\approx 15,3\mathrm{\%}$ i 2022.

Kommentarer til diagrammene:

• Linjediagrammet viser at antallet helsefagarbeidere økte kraftig for begge kjønn i perioden 2015–2022, og at veksten var sterkere for menn (228 %) enn for kvinner (131 %).
• Det stablede søylediagrammet viser at andelen menn har økt fra ca. 11 % til ca. 15 %. Yrket er fortsatt sterkt dominert av kvinner, men stadig flere menn velger dette yrket.

Utslipp geometrisk rekke og programmering

En bedrift vil redusere utslippet av et forurenset stoff med 5 % hvert år framover. I år er utslippet på 40 tonn.

Tenk deg at en annen bedrift har et utslipp som er lavere eller høyere enn 40 tonn i år. Denne bedriften vil også redusere utslippet med 5 % hvert år framover.

Ole påstår at $T={\displaystyle \frac{u}{p}}\cdot 100$ er en formel for å regne ut det samlede utslippet $T$ når utslippet i år er $u$ og utslippet reduseres med $p$ % hvert år framover.

Fasit

a) 40 + 38 + 36,1 = 114,1 tonn ✓ b) Program med løkke → 800 tonn c) T = 20u d) Oles formel T = u/p · 100 er riktig

Løsningsforslag

2-7a

Utslippet i år er $u_0=40$ tonn. Det reduseres med 5 % hvert år, så vekstfaktoren er $k=0,95$.

• I år (år 0): $40\text{ tonn}$
• Neste år (år 1): $40\cdot 0,95=38\text{ tonn}$
• Året etter (år 2): $40\cdot 0,{95}^2=40\cdot \mathrm{0,902}5=36,1\text{ tonn}$

Samlet utslipp over tre år:

$$40+38+36,1=\underset{―}{\underset{―}{114,1\text{ tonn}}}✓$$

2-7b

Vi bruker en løkke som summerer utslippet over mange år (f.eks. 1000 år):

utslipp = 40
total = 0
for i in range(1000):
    total += utslipp
    utslipp = utslipp * 0.95

print(total)

Programmet gir: Samlet utslipp ≈ 800 tonn.

2-7c

Dersom utslippet i år er $u$ (i stedet for 40) og reduksjonen fortsatt er 5 % per år:

Vi prøver noen verdier:

Utslipp i år ($u$)	Samlet utslipp ($T$)	Forholdet $T/u$
40	800	20
20	400	20
100	2000	20

Det samlede utslippet er alltid $T=20\cdot u$ – altså 20 ganger utslippet i år.

2-7d

Oles formel er $T={\displaystyle \frac{u}{p}}\cdot 100$.

Med $u=40$ og $p=5$:

$$T=\frac{40}{5}\cdot 100=8\cdot 100=800\text{ tonn}$$

Dette stemmer med svaret i b) og c). La oss sjekke at formelen er generell: En uendelig geometrisk rekke med første ledd $u$ og kvotient $k=1-\frac{p}{100}$ har summen

$$T=\frac{u}{1-k}=\frac{u}{1-(1-\frac{p}{100})}=\frac{u}{\frac{p}{100}}=\frac{u\cdot 100}{p}$$

Oles formel $T={\displaystyle \frac{u}{p}}\cdot 100$ er riktig – den gir det samlede utslippet når utslippet reduseres med $p$ % hvert år.

Klimagassutslipp lineær og eksponensiel modell

• I 1990 var Norges klimagassutslipp på 51,3 millioner tonn CO₂-ekvivalenter.
• I 2022 var Norges klimagassutslipp på 48,9 millioner tonn CO₂-ekvivalenter.

Norske myndigheter har satt som mål at klimagassutslippet skal reduseres med 55 % innen 2030, sammenliknet med hva utslippet var i 1990.

Anders og Arne diskuterer hvordan det kan være mulig å nå dette målet.

• Anders ser for seg at utslippet reduseres med et fast antall tonn hvert år. Han ønsker å lage en modell som viser hvor mange tonn den årlige reduksjonen må være på for å nå målet i 2030.
• Arne ser for seg at utslippet reduseres med en fast prosent hvert år. Han ønsker å lage en modell som viser hvor mange prosent den årlige reduksjonen må være for å nå målet i 2030.

Norge har som mål å bli et lavutslippssamfunn innen 2050. Da må klimagassutslippet reduseres med 90–95 % sammenliknet med utslippet i 1990.

Fasit

a) $A(x)=48,9-3,23\cdot x$ (lineær), $F(x)=48,9\cdot \mathrm{0,910}{4}^x$ (eksponentiell, ca. 9 % reduksjon/år)
b) Lineær modell gir negativt utslipp i 2050 (urealistisk). Eksponentiell modell gir ca. 3,53 mill. tonn i 2050 ≈ 93 % reduksjon fra 1990, som er innenfor 90–95 %-målet.

Løsningsforslag

2-8a

Norske myndigheter ønsker at klimagassutslippet skal reduseres med 55 % fra 1990-nivå innen 2030. Det betyr at målet for 2030 er:

$$51,3\cdot (1-0,55)=51,3\cdot 0,45=\mathrm{23,085}\text{ millioner tonn}$$

Siden $x$ er antall år etter 2022, tilsvarer 2030 $x=8$.

Anders – lineær modell:

Vi vet at modellen skal starte i $A(0)=48,9$ og nå $A(8)=\mathrm{23,085}$. Den lineære modellen er:

$$A(x)=48,9-d\cdot x$$

Vi finner den faste reduksjonen $d$ per år:

$$\begin{array}{rl}A(8)& =\mathrm{23,085}\\ 48,9-8d& =\mathrm{23,085}\\ 8d& =48,9-\mathrm{23,085}=\mathrm{25,815}\\ d& =\frac{\mathrm{25,815}}{8}\approx 3,23\end{array}$$

Anders sin lineære modell er $\underset{―}{\underset{―}{A(x)=48,9-3,23\cdot x}}$.

Det betyr at utslippet må reduseres med omtrent 3,23 millioner tonn per år.

Arne – eksponentiell modell:

Vi vet at modellen skal starte i $F(0)=48,9$ og nå $F(8)=\mathrm{23,085}$. Den eksponentielle modellen er:

$$F(x)=48,9\cdot k^x$$

Vi finner vekstfaktoren $k$:

$$\begin{array}{rl}F(8)& =\mathrm{23,085}\\ 48,9\cdot k^8& =\mathrm{23,085}\\ k^8& =\frac{\mathrm{23,085}}{48,9}\approx \mathrm{0,472}1\\ k& =\mathrm{0,472}{1}^{\frac{1}{8}}\approx \mathrm{0,910}4\end{array}$$

Arne sin eksponentielle modell er $\underset{―}{\underset{―}{F(x)=48,9\cdot \mathrm{0,910}{4}^x}}$.

Det betyr at utslippet må reduseres med omtrent $1-\mathrm{0,910}4\approx 8,96\mathrm{\%}$ per år.

2-8b

Vi bruker modellene til å beregne utslippet i 2050 ($x=28$):

$$A(28)=48,9-3,23\cdot 28\approx -41,5\text{ millioner tonn}$$$$F(28)=48,9\cdot \mathrm{0,910}{4}^{28}\approx 3,53\text{ millioner tonn}$$

Målet for 2050 er 90–95 % reduksjon fra 1990, altså mellom 2,565 og 5,13 millioner tonn.

Vurdering av modellene:

Anders sin lineære modell gir et negativt utslipp i 2050 (ca. −41,5 millioner tonn). Det er ikke fysisk mulig – utslippet kan ikke bli negativt. Den lineære modellen er derfor ikke egnet for å vurdere 2050-målet.

Arne sin eksponentielle modell gir ca. 3,53 millioner tonn i 2050. Det tilsvarer en reduksjon på

$$\frac{51,3-3,53}{51,3}\approx 93,1\mathrm{\%}$$

fra 1990-nivå, som er innenfor målet på 90–95 %. Den eksponentielle modellen viser at det er mulig å nå lavutslippsmålet i 2050 dersom utslippet reduseres med ca. 9 % hvert år.