Elever i klassen basert på prosentandel

$88\mathrm{\%}$ av elevene i en klasse deltar i en undersøkelse. Det er $3$ elever som ikke deltar i undersøkelsen.

Fasit

25 elever i klassen.

Løsningsforslag

Siden 88 % har svart, så må de gjenværende 12 prosentene tilsvare de 3 elevene. Vi kan gå veien om en ved å finne ut hvor mange elever 1 prosent tilsvarer.

1 % tilsvarer altså 0,25 elever, og dermed tilsvarer 100 % 25 elever.

Det er 25 elever i klassen.

Median og gjennomsnitt i heiskø

Trine og Truls står i kø for å ta en skiheis. De teller hvor mange personer som blir med i hver av vognene som kjører forbi før det blir deres tur. Resultatene ser du nedenfor:

a) Bestem medianen og gjennomsnittet.
b) Bestem den kumulative frekvensen for $6$ personer, og gi en praktisk tolkning av svaret.

Fasit

a) Medianen er $5$ og gjennomsnittet er $5$.
b) Den kumulative frekvensen for $6$ personer er $7$ (det var 7 av de 10 observasjonene som var $\le 6$).

Løsningsforslag

1-2a

Medianen er det midterste tallet etter at vi har sortert dem stigende

Siden både 4 og 6 står i midten så er medianen 5.

Gjennomsnittet er summen av tallene delt på antallet observasjoner.

Medianen er 5 og gjennomsnittet er 5.

1-2b

Den kumulative frekvensen for 6 personer er antallet observasjoner som er 6 eller mindre. Det er 7 av de 10 observasjonene som er på 6 personer eller mindre.

Den kumulative frekvensen for 6 personer er 7, det betyr at det i 7 av de 10 tilfellene var 6 personer eller færre i vogna i skiheisen.

Omvendt proporsjonal klassefest

Elevene i klasse 3PBB vil leie et lokale for å arrangere klassefest. De vil spleise på utgiftene. Ovenfor ser du grafen til en funksjon $f$. Grafen viser sammenhengen mellom hvor mange elever som blir med på festen, og prisen hver elev må betale:

Fasit

a) Det koster $400\text{ kr}$ per elev ved $20$ deltakere.
b) $f(x)={\displaystyle \frac{8000}{x}}$.

Løsningsforslag

1-3a

Jeg ser at dette er en omvendt proporsjonal funksjon siden en dobling fra 2 til 4 deltakere gir en halvering av prisen per elev fra 4000 kr til 2000 kr.

Siden det koster 800 kr per person hvis de er 10 elever må det koste 400 kr per person dersom de er 20 elever.

Det koster 400 kr per person dersom det er 20 elever på festen.

1-3b

Funksjonsuttrykkene for omvendt proporsjonale er på formen

Der $k$ er prisen når $x=1$. I dette tilfellet må prisen være 8000 kr for å leie lokalet (siden det koster 4000 kr per person for 2 personer). Funksjonsuttrykket er derfor

Prosentvis framgang for to partier

I en kommune fikk Høyre $24\mathrm{\%}$ av stemmene ved forrige valg. Fremskrittspartiet fikk $16\mathrm{\%}$. En meningsmåling viser at begge partiene har økt sin oppslutning med $4$ prosentpoeng siden valget.

Hvilket parti har hatt størst prosentvis framgang? Husk å begrunne svaret.

Fasit

Fremskrittspartiet har størst prosentvis framgang (fra $16\mathrm{\%}$ til $20\mathrm{\%}$ gir $\frac{4}{16}\cdot 100\mathrm{\%}=25\mathrm{\%}$, mens Høyre går fra $24\mathrm{\%}$ til $28\mathrm{\%}$ som gir $\frac{4}{24}\cdot 100\mathrm{\%}\approx 16,7\mathrm{\%}$).

Løsningsforslag

Høyre sin framgang var fra 24 % til 28 %, det gir en prosentvis framgang på

Fremskrittspartiet sin framgang var fra 16 % til 20 %, det gir en prosentvis framgang på

Siden $\frac{100}{4}$ er mer enn $\frac{100}{6}$ må Fremskrittspartiet ha hatt den største prosentvise framgangen.

Få størst mulig svar

I denne oppgaven skal du bruke fire av tallene $1,2,3,4,5,6,7,8,9$. Hvert tall kan bare brukes én gang.

Skriv av og fyll inn ett tall i hver av de fire rutene i regnestykket nedenfor slik at svaret blir størst mulig:

Fasit

$8\cdot {10}^9-2\cdot {10}^1$.

Løsningsforslag

Vi ser et regnestykke med differansen mellom to ulike ledd. For at svaret skal bli størst mulig må det første leddet være så stort som mulig, og det andre leddet (det vi trekker fra) må være så lite som mulig.

Siden potenser blir veldig store når eksponentene er høye så vil $8\cdot {10}^9$ være det største tallet vi kan skrive, og $2\cdot {10}^1$ være det minste tallet vi kan skrive, dermed vil det regnestykket som gir det høyeste svaret være

Figurtall 2PY v2025

Ovenfor ser du tre figurer. Figurene er satt sammen av små hvite og grønne kvadrater. Tenk deg at du skal fortsette å lage figurer etter samme mønster.

Fasit

a) $64$
b) $H_n=3n-2$
c) $G_n=2n^2+2n+4$

Løsningsforslag

1-6a

Jeg ser at hele figuren er rektangler som øker med 2 i bredden og 1 i høyden for hver figur. De hvite feltene øker med 3 for hver figur. Jeg setter opp en oversikt.

Det er 64 grønne ruter i figur 5.

1-6b

Antallet hvite kvadrater øker med 3 for hver figur, og det starter på 1.

I figuren over har jeg delt opp figur nr 3 i 4 ulike deler. Jeg ser at vi har tre like deler med lengde 2 merket med lilla farge. Disse er altså 1 mindre enn figurtallet. I tillegg har vi en ekstra hvit rute som er fast i alle figurene, merket med rød farge. For figur 3 kunne vi altså skrevet opp antallet som $3\cdot 2+1$ eller ved å bruke figurnummeret $3$ kunne vi skrevet $3\cdot (3-1)+1$. Et generelt uttrykk for hvite ruter i figur nummer $n$ blir derfor

1-6c

Jeg har allerede sett at det er mulig å finne størrelsen av hele rektangelet og trekke fra de hvite feltene for å finne ut hvor mange grønne ruter det er. Det store rektangelet øker med 2 i bredden og 1 i høyden, og vi ser at bredden er $2n+1$, mens høyden er $n+2$. Altså er antall ruter i hele rektangelet

For å finne antallet grønne ruter så kan vi trekke fra antallet hvite ruter.

I figur nummer $n$ er antallet grønne kvadrater gitt ved:

Vi kunne også funnet formelen for antallet grønne felter ved å dele opp de grønne feltene i mindre deler, se figuren.

Median og gjennomsnitt fra klassedelt alder

I tabellen nedenfor finner du informasjon om alderen til $100$ personer som er medlemmer på et treningssenter:

Trine påstår at gjennomsnittsalderen er ca. $38$ år, og at medianalderen er ca. $35$ år.

Gjør beregninger og vis at påstandene kan være riktige. Trine må ha gjort en antakelse for å kunne regne seg fram til disse verdiene. Gjør rede for en mulig antakelse.

Fasit

Gjennomsnitt ≈$38,1$ år, median ≈$35$ år (ved jevn fordeling i hver klasse).

Løsningsforslag

Trine må ha antatt at det er omtrent like mange personer i hver alder i hver klasse, altså at det for eksempel er 5 16-åringer, 5 17-åringer, 5 18-årnger og 5 19-åringer i den første klassen.

Hvis den antakelsen stemmer så kan vi finne gjennomsnittsalder ved å ta klassemidtpunktet for hver klasse og multiplisere med antallet medlemmer i klassen.

Gjennomsnittsalderen er omtrent $\frac{3810}{100}=\underset{―}{\underset{―}{38,1}}$ år.

Medianen er «den midterste personen» blant de 100 hvis vi sorterer dem etter alder. Altså vil medianen være gjennomsnittet av alderen til person nr. 50 og 51.

Vi tenker oss de 100 personene sortert etter alder i en lang rekke. De 20 yngste personene er under 20 år. I den neste klassen er det 40 personer, og medianpersonen vil være gjennomsnittet av person nr. 30 og 31 inni denne klassen.

Hvis vi fordeler personene i klassen $[20,40⟩$ i 5-årsgrupper så finner vi ut at person nummer 21–30 er mellom 20–24 år, person 31–40 er 25–30 år, person 41–50 er 30–35 år og 51–60 er 35–40 år. Personene 50 og 51 er altså begge rett rundt 35 år, og dermed er medianalderen 35 år.

Gjennomsnittet er ca. 38 år og medianalderen er ca. 35 år hvis personene er jevnt fordelt innenfor hver klasse.

Program for reduksjon av matsvinn

Et av FNs bærekraftsmål er å redusere matsvinn. Sofie har lest at en familie på fire kaster ca. $160\text{ kg}$ mat hvert år. Hun har laget programmet nedenfor.

123456789101112matsvinn = 160
mål = matsvinn / 2
vf = 0.87

år = 2025

while matsvinn > mål:
    matsvinn = matsvinn * vf
    år = år + 1

print(år)
print(matsvinn)

Når Sofie kjører programmet, blir disse verdiene skrevet ut:

2030
79.74734731199999

Fasit

Sofie ønsker å finne ut hvor mange år det tar før matsvinnet er halvert (til under $80\text{ kg}$). Verdiene viser at målet nås i $2030$ med utslipp på $79,7\text{ kg}$.

Løsningsforslag

I programmet ser jeg følgende:

• Linje 1: matsvinnet starter på 160 kg
• Linje 2: Målet er å halvere matsvinnet til 80 kg
• Linje 3: Vekstfaktoren er 0,87, altså 13 % nedgang.
• Linje 7: Starter en løkke som kjører fram til matsvinnet er mindre enn målet vårt på 80 kg
• Linje 8: Reduserer matsvinnet med 13 %
• Linje 9: Beregner hvilket år vi er i

Sofie ønsker å finne ut hvor mange år det tar før vi har halvert matsvinnet vårt.

Verdiene som skrives ut forteller at vi når målet i 2030 dersom vi reduserer med 13 % per år, og at utslippet da vil være 79,7 kg per familie på fire.

Ledelsen ved en bedrift ønsker å redusere utslippet av miljøskadelige stoffer de neste årene. I dag har bedriften to produksjonsprosesser:

1. Den ene slipper ut $5000\text{ tonn}$ per år
2. Den andre slipper ut $1000\text{ tonn}$ per år.

Ledelsen mener funksjonen

er en god modell for utslippet $U(x)$ tonn per år etter $x$ år.

Myndighetene har krevd at utslippet skal reduseres til $800\text{ tonn}$ per år.

Fasit

a) Den ene prosessen reduseres med $5\mathrm{\%}$ per år, den andre holdes konstant på $1000\text{ tonn}$.
b) $18$ år.
c) $33,4\mathrm{\%}$ reduksjon.
d) Stigningstallet ≈$-131$, som betyr en gjennomsnittlig årlig nedgang på $131\text{ tonn}$ de første 30 årene.
e) Nei, modellen har alltid $U(x)>1000$ og vil aldri nå $800$).

Løsningsforslag

2-1a

$U(x)$ består av to ledd: $5000\cdot 0,{95}^x$ og $1000$.

1. $5000\cdot 0,{95}^x$ er en eksponentialfunksjon som synker med 5 % for hvert år. Dette viser at prosessen som i dag slipper ut 5000 tonn per år kommer til å reduseres med 5 %.
2. $1000$ er en konstant funksjon, denne verdiene endrer seg altså ikke i framtiden. Dette viser at prosessen som i dag slipper ut 1000 tonn per år kommer til å fortsette på samme måte i framtiden.

Ledelsen ønsker å minke utslippet fra den ene prosessen med 5 % per år, og ikke gjøre noe med den andre prosessen.

2-1b

Til de neste oppgavene har jeg brukt GeoGebra til å regne ut svarene, se figuren-1.

For å finne antall år før utslippene blir halvert har jeg lagt ut linja $y=\frac{6000}{2}$ og funnet skjæringen med $U$, se punkt $A$.

Utslippene vil være halvert til 3000 tonn per år etter 18 år.

2-1c

For å finne utslippet etter 10 år har jeg lagt ut linja $x=10$ og funnet skjæringen med $U$, se punkt $B$. Utslippene er 3993,7 tonn etter 10 år.

Jeg har beregnet den prosentvise endringen i algebrafeltet, se linjen merket c) ProsEndring.

Utslippene har minket med 33,4 % etter 10 år.

2-1d

Jeg la ut punktene $C(0,U(0))$ og $D(30,U(30))$ i GeoGebra og trakk en linje mellom dem. Etter å ha ordnet uttrykket for linja ser jeg at stigningstallet til linja er $-130,9$.

Stigningstallet til linja er omtrent -131, dette betyr at utslippene i gjennomsnitt minker med 131 tonn per år hvert år i løpet av de 30 første årene.

2-1e

Jeg sjekket dette ved å lete etter skjæringen i mellom $y=800$ og $U(x)$ i GeoGebra. Da fikk jeg svaret Udefinert siden disse funksjonene ikke skjærer hverandre. Dette kunne jeg også sett fra funksjonsuttrykket med leddet $+1000$, som gjør at $U(x)$ alltid vil være større enn 1000.

Det er ikke mulig å komme ned til 800 tonn per år med dagens modell.

Skyskraperen Burj Khalifa i Dubai er $825\text{ m}$ høy. Et kronestykke er $1,7\text{ mm}$ tykt. Tenk deg at du skal bygge et tårn av kronestykker like høyt som Burj Khalifa.

Omtrent hvor mange kronestykker vil du trenge? Skriv svaret på standardform.

Fasit

Ca. $4,86\cdot {10}^5$ kronestykker.

Løsningsforslag

Se utklippet over.

Du vil trenge omtrent $\underset{―}{\underset{―}{4,86\cdot {10}^5}}$ kronestykker.

Påstander om gjennomsnitt og median i et rom

I et rom er det $10$ personer. Nedenfor ser du alderen til hver person:

$12,14,40,42,70,67,5,5,28,30$

Påstand 1: Dersom det kommer en ny person inn i rommet, vil medianalderen endres.

Påstand 2: Dersom det kommer en ny person inn i rommet, kan gjennomsnittsalderen bli $30$ år.

Fasit

a) Det kommer an på alderen på den som kommer. Hvis den er 29 år så blir medianen uendret.
b) Ja, hvis personen er 17 år.

Løsningsforslag

2-3a

Akkurat nå er det 10 personer i rommet. Medianalderen blir da gjennomsnittet av aldrene til person nummer 5 og 6. Denne medianalderen er foreløpig $\frac{28+30}{2}=29$ år.

Dersom det kommer en ellevte person inn så er det person nr. 6 som vil være medianalderen:

• Hvis personen er yngre enn 29 år så vil medianalderen bli 28
• Hvis personen er eldre enn 29 år så vil medianalderen bli 30
• Hvis personen er 29 år så blir den nye medianalderen 29

Påstanden er riktig.

2-3b

Hvis det kommer en ny person inn i rommet så blir det 11 personer i rommet. Hvis deres gjennomsnittsalder skal være 30 så må summen av alle aldrene være $11\cdot 30=330$ år.

Foreløpig er summen av aldrene 313 år. Hvis den siste personen er 17 år så blir blir summen 330 år, og dermed blir gjennomsnittet

Påstanden er riktig.

Proporsjonal pris på antibac

Antibac-hånddesinfeksjon selges i flere størrelser. Flasken med $600\text{ ml}$ koster $114\text{ kr}$.

Hva skulle den store kannen ($4\text{ l}$) og den lille sprayflasken ($100\text{ ml}$) ha kostet dersom pris og mengde var proporsjonale?

Fasit

Kanne $4\text{ l}=4000\text{ ml}$: $114\cdot \frac{4000}{600}=760\text{ kr}$
Spray $100\text{ ml}$: $114\cdot \frac{100}{600}=19\text{ kr}$

Løsningsforslag

Hvis pris og mengde skal være proporsjonale størrelser så må det være en fast pris per liter eller milliliter med antibac.

For den ene flasken er prisen per milliliter

De andre flaskene må da koste

Den lille flasken må koste 19 kr og den store flasken må koste 760 kr for at prisene og mengde skal være proporsjonale størrelser.

Modell for lengde av skjerf

Elevene ved en folkehøyskole holder på å strikke et langt skjerf.

I dag er skjerfet 8 meter langt.

• Elevene ønsker å organisere strikkingen slik at lengden av skjerfet øker med like mange centimeter hver uke.
• Målet er at skjerfet etter 25 uker skal være 40 meter langt.

Fasit

a) $y=1,28x+8$
b) 7 uker

Løsningsforslag

2-5a

For at skjerfet skal øke med like mange centimeter per uke, så må vi bruke en lineær modell på formen $y=ax+b$.

Vi vet at skjerfet er 8 m i dag, og at det skal bli 40 meter etter 25 uker. Det skal altså øke med vekstfarten

En lineær modell for lengden på skjerfet etter $x$ uker vil derfor være

2-5b

Jeg løser oppgaven i CAS. Vi skal finne ut når funksjonen vår passerer 17 m, vi skal altså løse likningen

Det tar 7 uker før skjerfet er 17 meter langt ifølge modellen.

Halvert fuglebestand

En fuglebestand i et område er blitt halvert i løpet av de fem siste årene.
I dag er det 12 000 fugler i bestanden.

Forskere mener bestanden vil fortsette å bli halvert hvert femte år framover.

Fasit

a) –
b) 4527 fugler
c) 3 år

Løsningsforslag

2-6a

Jeg bruker regresjon for å vise dette, se figuren.

Funksjonen $\underset{―}{\underset{―}{F(x)=12000\cdot 0,{87}^x}}$ er en god modell for utviklingen.

2-6b

Jeg sjekket verdien av $F(7)$ i GeoGebra, se skjermbildet.

Etter 7 år vil det være 4527 fugler ifølge modellen.

2-6c

Når bestanden er redusert med 35 % er det 65 % igjen, altså $12000\cdot 0,65$. Jeg la inn linja $y=12000\cdot 0,65$ og fant skjæringen i punktet $A$.

Det tar 3 år før bestanden er redusert med 35 % ifølge modellen.

Lag presentasjon som viser døds- og fødselsrate

Datamaterialet ovenfor er hentet fra Statistisk sentralbyrås nettsider.

• Fødselsrate og dødsrate er antall fødte og døde per 1000 innbyggere.
• Samlet fruktbarhetstall forteller hvor mange barn som i gjennomsnitt fødes per kvinne.

Tenk deg at du skal presentere dette datamaterialet i et foredrag.

Presentasjonen skal inneholde

• diagrammer som illustrerer utviklingen gjennom perioden fra 1983 til 2023
• beregninger som viser prosentvise endringer fra 1983 til 2023

Fasit

Løsningsforslag

Figuren viser et eksempel på svar på denne oppgaven, hvor jeg viser ulike framstillinger og beregninger.

Siden vi skal skal vise utvikling over tid fra 1983 til 2023 så passer linjediagrammer best. Jeg lager tre ulike linjediagrammer, ett diagram som passer til hver måleenhet (antall, antall per 1000 og antall per kvinne). For å vise beregninger med prosentvise endringer så har jeg laget en tabell som viser prosentvis endring fra 1983 fram til hvert år, og jeg har også vist formlene for beregningene i presentasjonen.