Ubestemt integral med delvis integrasjon

Fasit

$4x\sin x+4\cos x+C$

Løsningsforslag

Vi bruker delvis integrasjon (DI-metoden):

	D	I
$+$	$4x$	$\cos x$
$-$	$4$	$\sin x$
$+$	$0$	$-\cos x$

$$\int 4x\cdot \cos x\mathrm{d}x=4x\sin x-4(-\cos x)+0+C=4x\sin x+4\cos x+C$$

$$\underline{\underline{ 4(x \sin x + \cos x) + C }}$$

Volum av omdreiningslegeme – kopp

Funksjonen er gitt ved

$$f(x)=\sqrt{x+4},D_f=[0,10]$$

Innsiden av en kopp har samme form som vi får når vi dreier grafen til $f$ om førsteaksen i et koordinatsystem der enheten langs aksene er cm.

Fasit

$V=90\pi \approx 270{\mathrm{cm}}^3$

Løsningsforslag

Koppen dannes når grafen til $f(x)=\sqrt{x+4}$ dreies om $x$-aksen. Volumet av et omdreiningslegeme er gitt ved

$$V=\pi {\int }_a^b[f(x){]}^2\mathrm{d}x$$

Her er $a=0$ og $b=10$:

$$\begin{array}{rl}V& =\pi {\int }_0^{10}{\left(\sqrt{x+4}\right)}^2\mathrm{d}x\\ & =\pi {\int }_0^{10}(x+4)\mathrm{d}x\\ & =\pi {[\frac{x^2}{2}+4x]}_0^{10}\\ & =\pi (\frac{100}{2}+40)\\ & =90\pi \end{array}$$

Koppen rommer $\underset{―}{\underset{―}{90\pi {\mathrm{cm}}^3}}$ kakao. Det tilsvarer litt over $\underset{―}{\underset{―}{270{\mathrm{cm}}^3}}$.

Nedenfor ser du grafen til funksjonen $f$ gitt ved $f(x)=x^3+x^2-2x$.

:::

1. $${\int }_{-2}^{1}f(x)\mathrm{d}x$$
2. $${\int }_{-2}^{1}f(x)\mathrm{d}x-{\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$$
3. $${\int }_{-2}^{0}f(x)\mathrm{d}x+{\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$$
4. $${\int }_{-2}^{0}f(x)\mathrm{d}x-{\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$$

:::

Kristian ønsker å finne en verdi $a<0$, som er slik at ${\int }_a^{1}f(x)dx=0$.
Han bruker en kalkulator og finner at $a\approx -0,6$.

Unni påstår at likningen til Kristian har to løsninger.

Fasit

a) 4
b) $\frac{37}{12}$
c) Mellom -3 og -2,5.

Løsningsforslag

1-3a

Områder som ligger over $x$-aksen vil ha identisk areal og integral. Områder som ligger under $x$-aksen vil ha motsatt fortegn på integralet og arealet.

Vi deler derfor opp integrasjonen vår i to deler, en for området over $x$-aksen (fra $x=-2$ til $x=0$), og en annen del for området under $x$-aksen (fra $x=0$ til $x=1$).

Området fra $x=-2$ til $x=0$ ligger over $x$-aksen, arealet og integralet er identiske. Området fra $x=0$ til $x=1$ ligger under $x$-aksen, så arealet og integralet vil ha motsatt fortegn. For å beregne det samlede arealet må vi derfor endre fortegnet til integralet fra $x=0$ til $x=1$, altså

$${\int }_{-2}^{0}f(x)dx-{\int }_0^{1}f(x)dx$$

Uttrykk 4 gir arealet markert på figuren.

1-3b

Jeg finner først det ubestemte integralet

$$F(x)=\int (x^3+x^2-2x)\mathrm{d}x=\frac{1}{4}{x}^4+\frac{1}{3}{x}^3-\frac{2}{2}{x}^2+C$$

Arealet er gitt ved

$$\begin{array}{rl}A& ={\int }_{-2}^{0}f(x)dx-{\int }_0^{1}f(x)dx\\ & ={[F(x)]}_{-2}^0-{[F(x)]}_0^1\\ & ={[\frac{1}{4}{x}^4+\frac{1}{3}{x}^3-x^2]}_{-2}^0-{[\frac{1}{4}{x}^4+\frac{1}{3}{x}^3-x^2]}_0^1\\ & =(\left(0\right)-(\frac{1}{4}(-2{)}^4+\frac{1}{3}(-2{)}^3-(-2{)}^2))-((\frac{1}{4}{1}^4+\frac{1}{3}{1}^3-1^2)-\left(0\right))\\ & =-(\frac{1}{4}\cdot 16+\frac{1}{3}\cdot (-8)-4)-(\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-1)\\ & =-(\cancel{4}-\frac{8}{3}-\cancel{4})-(\frac{3}{12}+\frac{4}{12}-\frac{12}{12})\\ & =\frac{8}{3}-(-\frac{5}{12})\\ & =\frac{32}{12}+\frac{5}{12}=\frac{37}{12}\end{array}$$

Arealet er $\underset{―}{\underset{―}{\frac{37}{12}}}$.

1-3c

Likningen til Kristian er sann når vi velger $a$ slik at vi får nøyaktig like store områder på oversiden og undersiden av $x$-aksen.

Fra figuren kan vi se at Kristians beregning ser riktig ut, området som er avgrenset av $x$-aksen og $f(x)$ fra $x=-0,6$ til $x=1$ ser ut til å ha omtrent like mye areal over og under $x$-aksen.

Hvis vi tar ${\int }_{-2}^{1}f(x)dx$ så må svaret bli positivt siden det er mer areal på oversiden av $x$-aksen.

Vi ser videre at $f(x)$ er negativ for $x<-2$, altså må det være mulig å velge en verdi for $a$ som er mindre enn $-2$ slik at ${\int }_a^{1}f(x)dx=0$.

• Hvis vi velger $a=-2,5$ så ser det ut til at vi har litt mer areal over $x$-aksen enn under.
• Hvis vi velger $a=-3$ så ser det ut til at vi har litt mer areal under $x$-aksen enn over.

Likningen til Kristian krever like mye areal på oversiden og undersiden av $x$-aksen. Unni har rett i at det finnes to løsninger på likningen, der den andre løsningen ligger i intervallet $⟨-3,-2,5⟩$.

Trigonometriske likninger og antall løsninger

Ta utgangspunkt i likningen

$$(\sin x-\frac{1}{2})(\sin x-a)=0,x\in [0,2\pi ⟩\text{ og }a\in \mathbb{R}$$

Fasit

a) $x={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$ og $x={\displaystyle \frac{4\pi }{3}}$
b) To løsninger: $|a|>1$ eller $a={\displaystyle \frac{1}{2}}$; tre løsninger: $a=\pm 1$; fire løsninger: $-1<a<1$ og $a\ne {\displaystyle \frac{1}{2}}$

Løsningsforslag

1-4a

$$\sin x-\sqrt{3}\cos x=0⟹\sin x=\sqrt{3}\cos x⟹\tan x=\sqrt{3}$$$$x=\frac{\pi }{3}+n\pi ,n\in \mathbb{Z}$$

I intervallet $[0,2\pi )$:

$\underset{―}{\underset{―}{x={\displaystyle \frac{\pi }{3}}}}$ og $\underset{―}{\underset{―}{x={\displaystyle \frac{4\pi }{3}}}}$

1-4b

Likningen $(\sin x-{\displaystyle \frac{1}{2}})(\sin x-a)=0$ gir

$$\sin x=\frac{1}{2}\text{eller}\sin x=a$$

$\sin x={\displaystyle \frac{1}{2}}$ har to løsninger i $[0,2\pi )$: $x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ og $x={\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$.

$\sin x=a$ kan ha $0$, $1$ eller $2$ løsninger avhengig av $a$, og eventuelt de samme som $\sin x={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

To løsninger:

• $|a|>1$: $\sin x=a$ har ingen løsninger. Totalt 2 løsninger fra $\sin x={\displaystyle \frac{1}{2}}$.
• $a={\displaystyle \frac{1}{2}}$: Begge faktorer gir samme to løsninger. Totalt 2 løsninger.

Tre løsninger:

• $a=1$: $\sin x=1$ gir $x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ (én ny løsning). Totalt 3 løsninger.
• $a=-1$: $\sin x=-1$ gir $x={\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$ (én ny løsning). Totalt 3 løsninger.

Fire løsninger:

• $-1<a<1$ og $a\ne {\displaystyle \frac{1}{2}}$: $\sin x=a$ gir to nye løsninger (ulike fra ${\displaystyle \frac{\pi }{6}}$ og ${\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$). Totalt 4 løsninger.

Sanne og usanne påstander om fart og vinkel

Fasit

Påstand 1: Usann. Påstand 2: Sann.

Løsningsforslag

Påstand 1: Usann.

Arealet under en fartsgraf representerer tilbakelagt strekning (posisjon), ikke akselerasjon. Akselerasjon er den deriverte av farten, ikke integralet.

Påstand 2: Sann.

$$36°=36\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{\pi }{5}\text{ radianer}$$

Aritmetisk og geometrisk rekke

Ta utgangspunkt i den aritmetiske rekken

$$-3+0+3+\cdots +69$$

Ta utgangspunkt i den uendelige geometriske rekken

$$5+5\cdot (\frac{1}{2}-x)+5\cdot {(\frac{1}{2}-x)}^2+\dots$$

En ball faller fra 2 meters høyde. Hver gang ballen treffer bakken, spretter den opp til en høyde som er 75 % av høyden den falt fra.

Fasit

a) $825$
b) $x\in ⟨-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{3}{2}}⟩$
c) $14\mathrm{m}$

Løsningsforslag

1-6a

Den aritmetiske rekken $-3+0+3+\dots +69$ har $a_1=-3$, $d=3$ og siste ledd $a_n=69$.

$$a_n=a_1+(n-1)d⟹69=-3+(n-1)\cdot 3⟹n=25$$$$s_{25}=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n=\frac{-3+69}{2}\cdot 25=33\cdot 25=825$$

Summen av rekken er $\underset{―}{\underset{―}{825}}$.

1-6b

Rekken $5+5\cdot ({\displaystyle \frac{1}{2}}-x)+5\cdot {({\displaystyle \frac{1}{2}}-x)}^2+\dots$ er geometrisk med kvotient $k={\displaystyle \frac{1}{2}}-x$.

En uendelig geometrisk rekke konvergerer når $|k|<1$:

$$|\frac{1}{2}-x|<1⟹-1<\frac{1}{2}-x<1⟹-\frac{1}{2}<x<\frac{3}{2}$$

Konvergensområdet er $\underset{―}{\underset{―}{x\in ⟨-{\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{3}{2}}⟩}}$.

1-6c

Ballen faller $2\mathrm{m}$, spretter opp $2\cdot 0,75\mathrm{m}$, faller ned $2\cdot 0,75\mathrm{m}$, spretter opp $2\cdot 0,{75}^2\mathrm{m}$, osv.

$$\begin{array}{rl}d& =\underset{\text{første fall}}{\underbrace{2}}+2\cdot \underset{\text{opp og ned}}{\underbrace{(2\cdot 0,75+2\cdot 0,{75}^2+\dots )}}\\ & =2+2\cdot \frac{2\cdot 0,75}{1-0,75}\\ & =2+2\cdot \frac{1,5}{0,25}\\ & =2+12=14\end{array}$$

Ballen beveger seg totalt $\underset{―}{\underset{―}{14\mathrm{m}}}$.

Kuleflate og tangentplan

En likning for en kuleflate $S$ er gitt ved

$$x^2+y^2+z^2-4x+2z=4$$

En annen kuleflate $K$ har sentrum i $(1,-1,3)$ og radius $2$.

Et plan $\alpha$ tangerer kuleflaten $K$ i punktet $P(3,-1,3)$.

Et annet plan $\beta$ er gitt ved

$$3x+y-2z+1=0$$

Fasit

a) Sentrum $(2,0,-1)$, radius $3$
b) $x=3$
c) Ja, planet skjærer kuleflaten

Løsningsforslag

1-7a

Vi fullfører kvadratene i ligningen $x^2+y^2+z^2-4x+2z=4$:

$$\begin{array}{rl}(x-2{)}^2-4+y^2+(z+1{)}^2-1& =4\\ (x-2{)}^2+y^2+(z+1{)}^2& =9\end{array}$$

Sentrum er $\underset{―}{\underset{―}{(2,0,-1)}}$ og radius er $\underset{―}{\underset{―}{r=3}}$.

1-7b

Kule $K$ har sentrum $M(1,-1,3)$ og radius $2$. Vi sjekker at $P(3,-1,3)$ ligger på kula:

$$|MP|=\sqrt{(3-1{)}^2+0^2+0^2}=2✓$$

Normalvektoren til tangentplanet er $\overrightarrow{MP}=(2,0,0)$.

Planet gjennom $P(3,-1,3)$ med normalvektor $(2,0,0)$:

$$2(x-3)=0⟹x=3$$

En likning for plan $\alpha$ er $\underset{―}{\underset{―}{x=3}}$.

1-7c

Avstand fra sentrum $M(1,-1,3)$ til planet $\beta :3x+y-2z+1=0$:

$$d=\frac{|3\cdot 1+(-1)-2\cdot 3+1|}{\sqrt{3^2+1^2+(-2{)}^2}}=\frac{|3-1-6+1|}{\sqrt{14}}=\frac{3}{\sqrt{14}}\approx 0,80$$

Siden $d\approx 0,80<2=r$, vil planet $\beta$ skjære gjennom kuleflaten $K$.

Planet $\beta$ skjærer gjennom kuleflaten $\underset{―}{\underset{―}{K}}$.

Induksjonsbevis for geometrisk rekke

Fasit

Se løsningsforslag for fullstendig bevis.

Løsningsforslag

Vi beviser ved induksjon at

$$1+4+4^2+\dots +4^n=\frac{4^{n+1}-1}{3}\text{for }n\ge 0$$

Basissteg ($n=0$):

VS $=1$, HS $={\displaystyle \frac{4^1-1}{3}}={\displaystyle \frac{3}{3}}=1$. VS $=$ HS $✓$

Induksjonssteg:

Anta at påstanden holder for $n=k$, dvs.

$$1+4+4^2+\dots +4^k=\frac{4^{k+1}-1}{3}$$

Vi viser at den da også holder for $n=k+1$:

$$\begin{array}{rl}1+4+\dots +4^k+4^{k+1}& =\frac{4^{k+1}-1}{3}+4^{k+1}\\ & =\frac{4^{k+1}-1+3\cdot 4^{k+1}}{3}\\ & =\frac{4\cdot 4^{k+1}-1}{3}\\ & =\frac{4^{k+2}-1}{3}\end{array}$$

Dette er nettopp formelen for $n=k+1$. Påstanden er bevist ved induksjon. $◼$

Miniubåt, fart og kollisjon med fiskestim

En miniubåt passerer 250 meter under en bøye som ligger på havoverflaten.

I et koordinatsystem der $x$-aksen og $y$-aksen ligger parallelt med havoverflaten, $z$-aksen står normalt på havoverflaten, og enheten langs aksene er meter, er posisjonen til miniubåten $t$ sekunder etter passeringen gitt ved

$$\overrightarrow{r}(t)=[6t,7t,-250-5t+,1t^2],t\in [0,60]$$

Posisjonen til en fiskestim i området $t$ sekunder etter at miniubåten passerte under bøyen, er gitt ved

$$\overrightarrow{s}(t)=[40+2t,60+2t,-250],t\in [0,60]$$

Fiskestimen har en tilnærmet kuleform med radius på 15 meter. Miniubåten er 4 meter bred, 5 meter høy og 8 meter lang.

Fasit

a) $\approx 10,3\mathrm{m}/\mathrm{s}$
b) $312,5\mathrm{m}$ under havoverflaten
c) Minimumsavstand $\approx 39,8\mathrm{m}$ — ingen kollisjon

Løsningsforslag

2-1a

Vi definerer posisjonsvektoren, deriverer og beregner farten ved $t=2$ i GeoGebra CAS:

Farten til miniubåten etter 2 sekunder er $\underset{―}{\underset{―}{\approx 10,3\mathrm{m}/\mathrm{s}}}$.

2-1b

Vi definerer $z$-koordinaten, løser $z^{\prime }(t)=0$ og evaluerer minimumsposisjonen i GeoGebra CAS:

CAS gir $t=25$ og $\mathrm{dyp}(25)=-\frac{625}{2}=-312,5$.

Miniubåten er dypest $\underset{―}{\underset{―}{312,5\mathrm{m}}}$ under havoverflaten.

2-1c

Vi definerer begge posisjonsvektorene, beregner differansevektoren $\overrightarrow{d}(t)=\overrightarrow{r}(t)-\overrightarrow{s}(t)$ og avstandsfunksjonen $A(t)=|\overrightarrow{d}(t)|$. Så bruker vi Min(A, 0, 60) for å finne minimumsavstanden numerisk:

CAS gir minimumsavstand $\approx 39,83\mathrm{m}$ ved $t\approx 8,39\mathrm{s}$.

For at miniubåten skal kollidere med fiskestimen, må avstanden mellom sentrene være mindre enn fiskestimens radius ($15\mathrm{m}$) pluss halvparten av miniubåtens største tverrsnitt ($\approx 4\mathrm{m}$), altså under $19\mathrm{m}$.

Siden minimumsavstanden $\approx 39,8\mathrm{m}\gg 19\mathrm{m}$, vil miniubåten ikke kollidere med fiskestimen.

Sinusmodell for elektrisk spenning

Tabellen nedenfor viser elektrisk spenning målt i en stikkontakt i Norge.

Sekunder ($t$)	0,0020	0,0050	0,0070	0,0100	0,0130	0,0150	0,0180	0,0200
Målt spenning ($U$)	189	323	259	$-2,12$	$-261$	$-327$	$-189$	$3,52$

Nettspenningen i Norge (den elektriske spenningen i vanlige stikkontakter) er 230 V.

Truls lurer på om målingene som er gjort, kan være riktige. Han finner ut at spenningen i kontakten er en vekselspenning. Det betyr at spenningen varierer periodisk med tiden. Når spenningen oppgis å være 230 V, er dette noe som kalles effektivverdien til spenningen og er gitt ved

$$U_{\text{effektiv}}=\sqrt{\frac{1}{T}{\int }_0^T(U(t){)}^{2}dt}$$

der $T$ er perioden til funksjonen $U$.

Fasit

a) $U(t)\approx 323\sin (100\pi t)$
b) $t\approx \mathrm{0,002}5\mathrm{s}$ og $t\approx \mathrm{0,007}5\mathrm{s}$
c) $U_{\text{effektiv}}={\displaystyle \frac{323}{\sqrt{2}}}\approx 229\mathrm{V}\approx 230\mathrm{V}$ — målingene er riktige

Løsningsforslag

2-2a

Vi legger inn datapunktene i GeoGebra og bruker RegSin til å finne en sinusmodell:

RegSin gir

$$U(t)\approx 323,47\cdot \sin (314,81\cdot t-\mathrm{0,003})-0,91$$

Siden fasevinkelen ($-\mathrm{0,003}$) og konstantleddet ($-0,91$) er svært nær null, og $314,81\approx 100\pi$, forenkler vi til

$$U(t)\approx 323\cdot \sin (100\pi t)$$

Modellen $\underset{―}{\underset{―}{U(t)\approx 323\sin (100\pi t)}}$ beskriver spenningen godt.

2-2b

Vi løser $U(t)=230$:

$$323\sin (100\pi t)=230⟹\sin (100\pi t)=\frac{230}{323}\approx \mathrm{0,712}1$$$$100\pi t=\arcsin (\mathrm{0,712}1)\approx \mathrm{0,789}\mathrm{rad}\text{eller}100\pi t=\pi -\mathrm{0,789}\approx \mathrm{2,353}\mathrm{rad}$$$$t_1=\frac{\mathrm{0,789}}{100\pi }\approx \mathrm{0,002}5\mathrm{s},t_2=\frac{\mathrm{2,353}}{100\pi }\approx \mathrm{0,007}5\mathrm{s}$$

Spenningen er $230\mathrm{V}$ ved $\underset{―}{\underset{―}{t\approx \mathrm{0,002}5\mathrm{s}}}$ og $\underset{―}{\underset{―}{t\approx \mathrm{0,007}5\mathrm{s}}}$.

2-2c

Vi bruker modellen $U(t)=323\sin (100\pi t)$ med periode $T=\mathrm{0,020}0\mathrm{s}$:

$$\begin{array}{rl}{U}_{\text{effektiv}}& =\sqrt{\frac{1}{T}{\int }_0^T[U(t){]}^2\mathrm{d}t}\\ & =\sqrt{\frac{1}{T}{\int }_0^T{323}^2{\sin }^2(100\pi t)\mathrm{d}t}\end{array}$$

Siden ${\displaystyle {\int }_0^T{\sin }^2(\omega t)\mathrm{d}t={\displaystyle \frac{T}{2}}}$ for en hel periode:

$$U_{\text{effektiv}}=\sqrt{\frac{{323}^2}{T}\cdot \frac{T}{2}}=\frac{323}{\sqrt{2}}\approx 228,5\approx 229\mathrm{V}$$

Effektivverdien er $\approx 229\mathrm{V}\approx 230\mathrm{V}$, som stemmer godt med at nettspenningen i Norge er 230 V. Målingene kan være riktige.

CCl4-konsentrasjon og geometrisk rekke

Karbontetraklorid (${\text{CCl}}_4$) er et skadelig stoff som brytes sakte ned i kroppen og delvis lagres i fettvev. Så lenge konsentrasjonen av ${\text{CCl}}_4$ i kroppen er under 10 enheter, klarer leveren å skille ut stoffet som normalt. Når konsentrasjonen overstiger 10 enheter, begynner ammoniakk å hope seg opp i blodet, og det blir potensielt farlig.

Sofie skal bo nær et gammelt industriområde der det har foregått ulovlig dumping av kjemikalier. Hver natt kommer hun til å puste inn ${\text{CCl}}_4$ som fordamper fra grunnen og kommer inn på soverommet hennes gjennom ventilasjon og sprekker i kjelleren.

Sofie utsettes for 2 enheter ${\text{CCl}}_4$ per natt. Vi regner med at kroppen hennes klarer å skille ut 18 % av total mengde i kroppen i løpet av en dag.

Anta at Sofie kun skiller ut ${\text{CCl}}_4$ når hun ikke blir utsatt for stoffet, og at hun bare blir utsatt for ${\text{CCl}}_4$ om natten.

Sofie leser en artikkel om ${\text{CCl}}_4$ der det blir påstått at en voksen person aldri vil ha mer enn 10 enheter av stoffet i kroppen dersom personen utsettes for 2 enheter ${\text{CCl}}_4$ per natt.

Fasit

a) 11 netter
b) 20 %

Løsningsforslag

2-3a

La $c_n$ være konsentrasjonen rett etter den $n$-te natten. Kroppen skiller ut 18 % per dag, så 82 % gjenstår. Hvert døgn tilføres 2 nye enheter:

$$c_n=2+2\cdot 0,82+2\cdot 0,{82}^2+\dots +2\cdot 0,{82}^{n-1}$$

Dette er en geometrisk rekke med første ledd $a_1=2$ og kvotient $k=0,82$, som gir sumformelen

$$c(n)=2\cdot \frac{1-0,{82}^n}{1-0,82}$$

Vi definerer $c(n)$, løser $c(n)=10$ og kontrollerer $c(11)$ og $c(12)$ i GeoGebra CAS:

CAS gir $n\approx 11,6$, og vi ser at $c(11)\approx 9,86<10$ mens $c(12)\approx 10,08>10$.

Sofie kan sove $\underset{―}{\underset{―}{11\text{ netter}}}$ på soverommet sitt før konsentrasjonen når et potensielt farlig nivå.

2-3b

Grenseverdien til $c_n$ når $n\to \mathrm{\infty }$ er ${\displaystyle \frac{2}{1-k}}$ der $k$ er andelen som gjenstår etter utskillelse. For at konsentrasjonen aldri skal overstige 10 enheter, må grenseverdien være $\le 10$:

$$\frac{2}{1-k}=10$$

Vi løser for $k$ i GeoGebra CAS:

CAS gir $k={\displaystyle \frac{4}{5}}$, og utskillelsesprosenten er $1-k={\displaystyle \frac{1}{5}}=20\mathrm{\%}$.

Artikkelen antar at kroppen skiller ut $\underset{―}{\underset{―}{20\mathrm{\%}}}$ av ${\text{CCl}}_4$-mengden per dag.

Programmering og numerisk integrasjon

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$f(x)=3^{2x}$$

Programmet nedenfor beregner arealet avgrenset av grafen til $f$, $x$-aksen og linjene $x=0$ og $x=2$ ved hjelp av to ulike metoder.

12345678910111213141516171819202122232425start = 0
slutt = 2
n = 100

dx = (slutt-start)/n

def f(x):
    return 3**(2*x)

def areal_til_hoyre():
    areal = 0
    for i in range(n):
        x = start + i*dx
        areal = areal + f(x)*dx
    return areal

def areal_til_venstre():
    areal = 0
    for i in range(1, n+1):
        x = start + i*dx
        areal = areal + f(x)*dx
    return areal

print(areal_til_hoyre())
print(areal_til_venstre())

1234567891011121314151617start = 0
slutt = 2
n = 100

dx = (slutt-start)/n

def f(x):
    return 3** (2*x)

def bedre_metode():
    areal = 0
    
    #Skriv ny kode her
    
    return areal
    
print(bedre_metode())

Fasit

a) areal_til_hoyre bruker venstre endepunkter (for lav), areal_til_venstre bruker høyre endepunkter (for høy)
b) Trapesmetode: (f(x) + f(x+dx)) / 2 * dx

Løsningsforslag

2-4a

Funksjonen $f(x)=3^{2x}=9^x$ er strengt stigende på $[0,2]$.

For en stigende funksjon gjelder:

• areal_til_hoyre() bruker venstre endepunkt ($x=0,\mathrm{\Delta }x,2\mathrm{\Delta }x,\dots$) i hvert delintervall. Venstre endepunkt gir den minste funksjonsverdien → summerer for lav verdi.
• areal_til_venstre() bruker høyre endepunkt ($x=\mathrm{\Delta }x,2\mathrm{\Delta }x,\dots ,2$). Høyre endepunkt gir den største funksjonsverdien → summerer for høy verdi.

Det faktiske arealet (nøyaktig) er ${\displaystyle {\int }_0^2{9}^x\mathrm{d}x=\frac{9^2-1}{\ln 9}\approx 36,4}$.

2-4b

En bedre metode er trapesmetoden: vi bruker gjennomsnittet av funksjonsverdiene i begge endepunktene av hvert delintervall.

start = 0
slutt = 2
n = 100

dx = (slutt-start)/n

def f(x):
    return 3**(2*x)

def bedre_metode():
    areal = 0
    for i in range(n):
        x = start + i*dx
        areal = areal + (f(x) + f(x + dx)) / 2 * dx
    return areal

print(bedre_metode())

Trapesmetoden gir $\approx \mathrm{36,415}$, som er svært nær den eksakte verdien $\approx \mathrm{36,410}$.