R2 eksamen V2023

Oversikt

Del 1 — 2 timer — uten hjelpemidler

Oppgave	Navn	Temaer	Løsningsforslag
1-1	To bestemte integraler	integral	❌
1-2	Tangens, derivert og integral	trigonometri, derivasjon, integral	❌
1-3	Pyramide med fire punkter i rommet	vektorer, geometri, volum, areal	❌
1-4	Sum av aritmetisk rekke med kode	programmering, rekker	❌
1-5	Bevis for grenseverdien til sin v delt på v	grenseverdi, trigonometri, bevis	❌

Del 2 — 3 timer — med hjelpemidler

Oppgave	Navn	Temaer	Løsningsforslag
2-1	Regresjon på størrelsen av det norske musikkstrømmemarkedet	regresjon, logistisk funksjon, derivasjon, funksjoner, tolkning av integraler, integral, samlet mengde	❌
2-2	Parallelle plan og kule	vektorer, geometri	❌
2-3	Banefart til 3D-printer	vektorer, derivasjon	❌
2-4	Hildegunns ukepenger	excel, rekker	❌
2-5	Omdreiingslegeme til trigonometrisk funksjon	integral, omdreiningslegeme, trigonometri	❌
2-6	Grafens lengde med polylinje	integral, programmering	❌

Del 1

Oppgave 1-1

To bestemte integraler

Regn ut integralene

Oppgave

$\int_{- 1}^{1} (4 x^{3} - x) d x$
$\int_{0}^{\ln 2} e^{2 x} d x$

Fasit

Oppgave 1-2

Tangens, derivert og integral

Oppgave

Vis at dersom $f (x) = \tan x$ , så er $f^{'} (x) = 1 + \tan^{2} x$ .
Regn ut
$\int \frac{1 + \tan^{2} x}{\tan x} d x$

Fasit

Oppgave 1-3

Pyramide med fire punkter i rommet

Punktene $A (0, 0, 0)$ , $B (5, 0, 0)$ , $C (4, 2, 0)$ og $T (0, 0, 5)$ danner en pyramide, slik figuren viser.

Pyramide med punktene A, B, C og T

Oppgave

Regn ut volumet av pyramiden.
Regn ut arealet av $△ B C T$ .
Bestem avstanden fra $A$ til planet som går gjennom $B$ , $C$ og $T$ .

Fasit

Oppgave 1-4

Sum av aritmetisk rekke med kode

En elev har skrevet følgende kode:

1234567891011a = 3
d = 4

N = 10
S = 0

for i in range(N):
    S = S + a
    a = a + d

print(S)

Oppgave

Forklar hva eleven ønsker å regne ut.
Hva blir resultatet når programmet kjøres, dersom N settes til 100 i linje 4?

Fasit

Oppgave 1-5

Bevis for grenseverdien til sin v delt på v

I denne oppgaven skal du vise at $lim_{v \to 0^{+}} \frac{\sin v}{v} = 1$ .

I figuren nedenfor er $A B = A D = 1$ , og buen $B D$ er del av en sirkel med sentrum i $A$ . Vi lar $∠ B A C = v$ (målt i radianer).

Figur til grenseverdibevis

Oppgave

Bruk arealbetraktninger til å begrunne at
$\frac{1}{2} \sin v < \frac{1}{2} v < \frac{1}{2} \tan v$
Forklar at dette gir oss
$1 < \frac{v}{\sin v} < \frac{1}{\cos v}$
Bruk ulikhetene fra oppgave b til å begrunne at $lim_{v \to 0^{+}} \frac{\sin v}{v} = 1$ .

Fasit

Del 2

Oppgave 2-1

Regresjon på størrelsen av det norske musikkstrømmemarkedet

Tabellen nedenfor viser hvor mange millioner kroner som ble brukt på strømming av musikk i Norge noen år i perioden 2008-2018.

År	2008	2010	2012	2014	2016	2018
Strømming	2	70	246	456	582	655

Oppgave

Lag en modell $F$ som du kan bruke til å bestemme hvor mange millioner kroner som ble brukt på strømming i Norge per år i perioden 2008-2018 og årene etterpå. Velg $x$ -verdier slik at $F (0)$ gir hvor mange millioner kroner som ble brukt i 2008. Begrunn valget av modell.

Nedenfor ser du fire formler.

I = \int_{- 0, 5}^{10, 5} F (x) d x, G = \frac{1}{5} \int_{2, 5}^{7, 5} F (x) d x, S = \sum_{i = 0}^{10} F (i), D = \frac{F (5, 001) - F (5)}{0, 001}

Oppgave

Bestem $I, G, S$ og $D$ .

Oppgave

Gi en praktisk tolkning av svarene i oppgave b.

Fasit

Mange modeller og ulike tolkninger kan fungere. Se løsningsforslaget.

Løsningsforslag

2-2a

Jeg brukte regresjonsverktøyet i GeoGebra valgte den logistiske modellen:

\underset{―}{\underset{―}{F (x) = \frac{660, 37}{1 + 30, 72 e^{- 0,706 6 x}}}}

Logistiske funksjoner flater ut ved en horisontal asymptote (i dette tilfellet 660,37 millioner kr). Selv om det kanskje høres usannsynlig ut at markedet for musikkstrømming ikke kommer til å vokse, så tror jeg at nærmest all musikklytting allerede er blitt flyttet fra formater som CD og nedlasting, til strømming. Derfor er det usannsynlig veksten kommer til å fortsette i samme tempo. En logistisk modell har også asymptote ved $y = 0$ . Det stemmer også godt med at strømmemarkedet var svært lite (kanskje ikke-eksisterende?) i Norge før Spotify ble lansert i 2008.

Kommentar: Man kan også argumentere for andre regresjonsmodeller, f.eks. vil en tredjegradsmodell passe fint. Vær imidlertid klar over at tredjegradsmodellen sannsynligvis vil ha et mindre gyldighetsområde siden denne har negativ vekstfart både før 2008 og etter 2018. Sensorveiledninga sier at flere ulike modeller kan gi full uttelling så lenge de begrunnes godt.

2-2b

Se utklippet fra CAS.

\begin{aligned} I & = 3729, 0 \\ G & = 344, 5 \\ S & = 3729, 1 \\ D & = 116, 3 \end{aligned}

2-2c

$I$ beregner integralet under $F$ fra $x = - 0.5$ til $x = 10.5$ . Dette gir en tilnærmingsverdi for de samlede inntektene fra musikkstrømming i Norge fra og med 2008 til og med 2018. De samlede inntektene er omtrent 3729 millioner kr.

$G$ finner en tilnærmingsverdi de samlede inntektene fra og med 2011 til og med 2015 ved å integrere, deretter divideres svaret med 5. $G$ finner altså de gjennomsnittlige årlige inntektene mellom år 2011 og 2015. De gjennomsnittlige årlige inntektene i perioden er 344,5 millioner kr.

$S$ gir oss de samlede inntektene fra 2008 til 2018 beregnet som summen av en rekke, altså ved å legge sammen inntektene i hvert år. De samlede inntektene i perioden er omtrent 3729 millioner kr.

$D$ gir oss omtrent momentan vekstfart i 2013. Vi kjenner igjen uttrykket for den deriverte hvor vi har $f^{'} (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$ . Her er $x = 5$ og $h = 0.001$ . Den momentane vekstfarten i 2013 er omtrent 116,3 millioner kr per år.

Oppgave 2-2

Parallelle plan og kule

Planet $α$ er bestemt av punktene $A (1, 0, 3)$ , $B (0, 1, 2)$ og $C (2, 3, 2)$ .

Oppgave

Bestem en likning for planet $β$ som er parallelt med $α$ og går gjennom punktet $P (2, - 5, 5)$ .

En kule tangerer $α$ i punktet $A$ og $β$ i et punkt $Q$ .

Oppgave

Bestem eksakte verdier for koordinatene til $Q$ .

Fasit

Oppgave 2-3

Banefart til 3D-printer

En fabrikk lager kroker ved hjelp av en 3D-printer. Posisjonen til dysen i 3D-printeren etter $t$ sekunder er gitt ved posisjonsvektoren

\vec{r} (t) = [1 + e^{\frac{t}{20}}, 1 - \sin t, \frac{1}{10} e^{- 2 t + 2} + \cos t], t \in [0, 5]

Her er cm enheten langs aksene.

Oppgave

Bestem banefarten til 3D-printeren etter 1 sekund.
Ved hvilket tidspunkt er banefarten lavest?
Avgjør om fartsretningen noen gang er parallell med $x y$ -planet eller parallell med $y z$ -planet. Husk å begrunne svaret.

Fasit

Oppgave 2-4

Hildegunns ukepenger

Foreldrene til Hildegunn/David^[1] vil gi hen ukepenger. De gir hen to ulike tilbud. I tilbud 1 får hen 100 kroner den første uken. Beløpet $a_{n}$ som hen får i uke $n$ , er gitt ved den rekursive formelen

a_{n} = a_{n - 1} + 10

I tilbud 2 får hen 100 kroner den første uken. Beløpet $b_{n}$ som hen får i uke $n$ , er gitt ved den rekursive formelen

b_{n} = b_{n - 1} \cdot 1, 05

Oppgave

Bestem det ukentlige beløpet hen får de fire første ukene med hvert av de to tilbudene.
Hvor mange uker tar det før tilbud 2 vil gi mer ukelønn enn tilbud 1?
Hvor mange uker tar det før tilbud 2 til sammen vil gi mer lønn enn tilbud 1 ?

Fasit

a) Den fjerde uka får hen 130 kr og 115,76 kr (de andre beløpene kan du se i løsningforslaget)
b) I den 28. uka
c) I den 39. uka

Løsningsforslag

Jeg gjorde disse oppgavene i Excel, se regnearket under.

2-4a

De ukentlige beløpene for de fire første ukene er markert i blått i utklippet. Det venstre blå rektangelet viser beløpene for tilbud 1, det høyre blå rektangelet viser beløpene for tilbud 2. Vi kan se at tilbud 1 vokser fortere enn tilbud 2 i starten.

2-4b

I uke 28 så vil tilbud 2 for første gang gi større utbetaling enn tilbud 1, se den røde markering i Excel-arket.

2-4c

I uke 39 så vil tilbud 2 for første gang ha gitt større samlet utbetaling enn tilbud 1, se den gule markeringen i Excel-arket.

Oppgave 2-5

Omdreiingslegeme til trigonometrisk funksjon

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = \frac{2 - \cos x}{\sin x}, D_{f} = [\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}]

Vi roterer grafen til $f$ om $x$ -aksen.

Omdreiingslegemet til f

Oppgave

Bestem volumet av omdreiingslegemet vi da får.

Omdreiingslegemet skal plasseres i en rett kjegle med radius 4 og volum 45.

Oppgave

Avgjør om omdreiingslegemet får plass i kjeglen.

Fasit

Oppgave 2-6

Grafens lengde med polylinje

For en deriverbar funksjon $f$ kan vi finne en tilnærmet verdi for lengden av grafen mellom to $x$ -verdier ved å bruke en polylinje, slik figuren nedenfor illustrerer.

Polylinje langs graf

Dersom vi skal finne lengden av grafen i et intervall $[a, b]$ , kan vi dele dette intervallet i $N$ like store delintervall $[x_{i}, x_{i + 1}]$ med bredde $h = \frac{b - a}{N}$ og $x_{i} = a + i \cdot h$ .

Vi regner da ut lengdene av linjestykkene som går mellom punktene $(x_{i}, f (x_{i}))$ og $(x_{i + 1}, f (x_{i + 1}))$ . Summen av disse lengdene vil da være en tilnærmet verdi for lengden av grafen fra $x = a$ til $x = b$ .

Oppgave

Forklar at lengden av linjestykket som går fra punktet $(x_{i}, f (x_{i}))$ til punktet $(x_{i + 1}, f (x_{i + 1}))$ , er gitt ved
$S_{i} = \sqrt{h^{2} + k_{i}^{2}}, der k_{i} = f (x_{i + 1}) - f (x_{i})$

Illustrasjon av Si, ki og h

Funksjonen $g$ er gitt ved

g (x) = \sqrt{1 - x^{2}}, D_{g} = [- 1, 1]

Oppgave

Regn ut en god tilnærmet verdi for lengden av grafen til $g$ ved å bruke framgangsmåten beskrevet ovenfor. Vurder om svaret er rimelig.

Fasit

Oppgaven er både gitt S2 og R2 ved eksamen våren 2023. I S2-eksamen het personen Hildegunn, og i R2-eksamen het personen David. Derfor bruker jeg pronomenen hen i denne oppgaven. ↩︎