Bestemt integral

Regn ut integralet

$${\int }_0^1(4x^2+3)dx$$

Fasit

$\frac{13}{3}$

Løsningsforslag

$${\int }_0^{1}4x^2+3\mathrm{d}x={[\frac{4}{3}{x}^3+3x]}_0^1=\frac{4}{3}+3\cdot 1-0=\frac{4}{3}+\frac{9}{3}=\underset{―}{\underset{―}{\frac{13}{3}}}$$

Ubestemt integral

Regn ut integralet

$$\int 4x\sqrt{x^2+2}dx$$

Fasit

$\frac{4}{3}\cdot \sqrt{x^2+2}\cdot (x^2+2)+C=\frac{4}{3}(x^2+2{)}^{\frac{3}{2}}+C$

Løsningsforslag

$$\begin{array}{r}\int 4x\sqrt{x^2+2}\mathrm{d}x,u=x^2+2⟹\frac{du}{dx}=2x⟺du=2xdx\\ \int 2\sqrt{u}\mathrm{d}u=2\int u^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}u=2\frac{2}{3}{u}^{\frac{3}{2}}+C=\frac{4}{3}(x^2+2{)}^{\frac{3}{2}}+C^{\prime }=\frac{4}{3}(x^2+2)\sqrt{x^2+2}+C^{\prime }\end{array}$$

Aritmetisk mur

a) Forklar hva det vil si at en rekke $a_1+a_2+\cdots +a_n$ er aritmetisk.

b) En murer skal lage en mur slik figuren viser. Bruk teorien om rekker til å bestemme hvor mange murstein mureren trenger, når han vet at det er totalt 20 rader med murstein.

Fasit

a) –
b) 210

Summen av ukjent uendelig geometrisk rekke

Summen av en uendelig geometrisk rekke konvergerer mot 6.

Summen av tre første leddene er $\frac{38}{9}$ .

Bestem summen av de fire første leddene.

Fasit

$\frac{130}{27}$

Løsningsforslag

1-3

Om oppgaveteksten

Denne oppgaven finnes i to ulike varianter (sannsynligvis på grunn av en skrivefeil i løsningsforslag eller oppgavesettet. Den ene varianten sier at summen av de tre første leddene er 38/9, mens den andre varianten sier at summen av de seks første leddene er 38/9. Løsningsmetoden min vil fungere uansett hvilken variant man tenker seg, men det er nok lurt å heller formel for sum av geometrisk rekke ($s_n=a_1\frac{k^n-1}{k-1}$) enn min framgangsmåte dersom man får oppgitt summen av et høyt antall ledd. Min metode er enkel når du bare trenger å tenke på 3 ledd, men skal du ta hensyn til 100 så må du regne mye!

Oppgavetekst

Summen av en uendelig geometrisk rekke konvergerer mot 6.

Sum av tre første ledd er 38/9

Hva er sum av de fire første?

Løsningsforslag

Jeg kaller første ledd i rekka for $x$. Vet da at de tre første leddene må være:

$$x+xk+x{k}^2=\frac{38}{9}$$

Som kan faktoriseres til

$$x(1+k+k^2)=\frac{38}{9}$$

Summen for uendelig geometrisk rekke gir:

$$\frac{x}{1-k}=6$$

Løser den likningen for $x$ og setter inn i uttrykket for sum av 3 første ledd

$$x=6(1-k)$$$$6(1-k)(1+k+k^2)=\frac{38}{9}$$$$(1-k)(1+k+k^2)=\frac{38}{9\cdot 6}=\frac{38}{54}=\frac{19}{27}$$$$1+k+k^2-k-k^2-k^3=\frac{19}{27}$$$$1-k^3=\frac{19}{27}$$$$k^3=1-\frac{19}{27}=\frac{8}{27}\Rightarrow \underset{―}{k=\frac{2}{3}}$$

Vi har nå funnet $k$ og kan enkelt finne $x$:

$$x=6(1-k)=6(1-\frac{2}{3})=6\frac{1}{3}=2$$

Ledd 4 må være:

$$x{k}^3=2\cdot \frac{8}{27}=\frac{16}{27}$$

Summen av de fire første leddene blir da summen av de tre første pluss dette fjerde leddet

$$\frac{38}{9}+\frac{16}{27}=\frac{114}{27}+\frac{16}{27}=\frac{130}{27}$$

Summen av fire første ledd er

$$\underset{―}{\underset{―}{\frac{130}{27}}}$$

Alternativ løsning

Fra formel for sum av uendelig geometrisk rekke vet vi at

$$\frac{a_1}{1-k}=6$$

Samtidig kan sum av de tre første leddene uttrykkes som

$$\frac{38}{9}=a_1\cdot \frac{k^3-1}{k-1}$$

Vi har altså to likninger og to ukjente, $a_1$ og $k$.

Vi kan løse den første likningen for $a_1$ og sette inn i den andre likningen

$$a_1=6(1-k)$$$$\frac{38}{9}=6(1-k)\cdot \frac{k^3-1}{k-1}=6\cdot \frac{(k^3-1)(1-k)}{k-1}$$

Siden $(1-k)=(-1)\cdot (k-1)$ så bytter jeg ut denne faktoren i telleren for å kunne forkorte brøken på høyre side. Samtidig deler jeg på 6 på begge sider.

$$\frac{38}{54}=\frac{(k^3-1)(-1)\cancel{(k-1)}}{\cancel{(k-1)}}=(k^3-1)(-1)=1-k^3$$

Vi kan nå løse likningen

$$\begin{array}{rl}\frac{38}{54}& =1-k^3\\ k^3& =1-\frac{38}{54}=\frac{16}{54}=\frac{8}{27}\\ k& =\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{2}{3}\end{array}$$

Når vi endelig har $k$ så kan vi finne $a_1$ med

$$a_1=6(1-k)=6(1-\frac{2}{3})=6\cdot \frac{1}{3}=2$$

Og til slutt kan vi finne summen av de fire første leddene med sumformelen

$$s_4=a_1\cdot \frac{k^4-1}{k-1}=2\cdot \frac{{\left(\frac{2}{3}\right)}^4-1}{\left(\frac{2}{3}\right)-1}=2\cdot \frac{\frac{16}{81}-1}{\frac{2}{3}-1}=2\cdot \frac{-\frac{65}{81}}{-\frac{1}{3}}=2\cdot \frac{\frac{65}{81}}{\frac{27}{81}}=\frac{130}{27}$$

Summen av de fire første leddene er

$$\underset{―}{\underset{―}{\frac{130}{27}}}$$

Forventningsverdi og varians fra diskret sannsynlighetsfordeling

En sannsynlighetsfordeling er gitt ved tabellen nedenfor.

$x$	0	1	2	3
$P(X=x)$	$0,2$	$k$	$2k$	$5k$

Fasit

a) $E(X)=2$
b) $Var(X)=1,4$

Løsningsforslag

1-4a

Summen av sannsynlighetene for alle utfallene skal være 1. Vi har dermed at

$$\begin{array}{rl}0,2+k+2k+5k& =1\\ 8k& =0,8\\ k& =0,1\end{array}$$

Forventningsverdien er gitt ved

$$\sum x\cdot P(X=x)=0+1\cdot 0,1+2\cdot 0,2+3\cdot 0,5=2,0$$

$k$ må være lik 0,1 og forventningsverdien $\text{E}(X)=2$.

1-4b

Variansen til $X$ er gitt ved

$$Var(X)=\sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2\cdot P(X=x)$$

Dette er enklest å regne ut ved å bruke sannsynlighetsfordelingen:

$x$	0	1	2	3
$P(X=x)$	$0,2$	$0,1$	$0,2$	$0,5$
$(x_i-\mu {)}^2$	$(0-2{)}^2=4$	$(1-2{)}^2=1$	$(2-2{)}^2=0$	$(3-2{)}^2=1$
$(x_i-\mu {)}^2\cdot P(X=x)$	$4\cdot 0,2=0,8$	$1\cdot 0,1=0,1$	$0$	$1\cdot 0,5=0,5$

Summen av kvadratavvikene er 1,4.

Variansen $\underset{―}{\underset{―}{\text{Var}(X)=1,4}}$.

Argumenter for hvorfor sette grensekostnad lik grenseinntekt

Forklar hvorfor vi kan sette grensekostnad lik grenseinntekt når vi skal finne det største overskuddet.

Fasit

$O^{\prime }(x)=I^{\prime }(x)-K^{\prime }(x)$
$0=I^{\prime }(x)-K^{\prime }(x)⟺I^{\prime }(x)=K^{\prime }(x)$

Ukjent programkode

En elev har skrevet følgende kode

123456789101112131415from math import sqrt            # importerer kvadratrotfunksjon
a = 0
b = 2
n = 10000

def f(x):
	return x**2 + 2

I = 0
h = (b - a)/n

for i in range(n):
	I = I + f(a + i*h)*h

print(round(I,3))

Fasit

a) Eleven ønsker å beregne en tilnærmingsverdi for dette integralet ${\int }_0^2(x^2+2)dx$
b) $\frac{20}{3}$

Levetiden til lyspærer

Levetiden $T$ i timer til en tilfeldig lyspære av en bestemt type er en stokastisk variabel. Det viser seg at

$$P(T\le t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{t}f(x)\mathrm{d}x$$

der tetthetsfunksjonen $f$ er gitt ved

$$f(t)=\{\begin{array}{ll}k\cdot e^{-\mathrm{0,005}t}\text{,}& t>0\\ 0\text{,}& t\le 0\end{array}$$

Forventningsverdien $\mu$ til en kontinuerlig stokastisk variabel med tetthetsfunksjonen $f$ er gitt ved

$$\mu ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x\cdot f(x)\mathrm{d}x$$

Fasit

a) Løs likningen ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}k\cdot e^{-\mathrm{0,005}t}dt=1$
b) $\frac{1}{e^2}$
c) 200

Løsningsforslag

2-2a

Siden $f(t)=0$ når $t\le 0$ så vil

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{0}f(t)dt=0$$

Vi trenger derfor kun å bry oss tilfellet hvor $t>0$.

Vi vet at et krav til sannsynlighetsfordelinger er at summen av alle sannsynlighetene skal bli 1. For kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger har vi altså

$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x)dx=1$$

I vårt tilfelle ønsker vi altså å bestemme $k$ slik at den tilfredsstiller likningen

$${\int }_0^{\mathrm{\infty }}k\cdot e^{-\mathrm{0,005}t}dt=1$$

Vi kan løse denne i GeoGebra eller vi kan integrere for hånd:

$$\begin{array}{rl}{[\frac{k}{-0.005}\cdot e^{-0.005t}]}_0^{\mathrm{\infty }}& =1\\ (\frac{k}{-0.005}\cdot 0)-(\frac{k}{-0.005}\cdot 1)& =1\\ \frac{-k}{-0.005}& =1\\ k& =0.005\end{array}$$

Jeg har vist at $k=\mathrm{0,005}$

2-2b

Jeg kan bruke integralet av tetthetsfunksjonen til å beregne sannsynligheten. Sannsynligheten for at lyspæras levetid er mellom 0 og 400 timer er gitt ved

$${\int }_0^{400}\mathrm{0,005}\cdot e^{-\mathrm{0,005}t}dt=1-\frac{1}{e^2}$$

Siden summen av sannsynlighetene for alle utfallene er 1 så kan vi finne sannsynligheten for at lyspæra varer mellom 400 og uendelig timer ved å ta

$$1-(1-\frac{1}{e^2})=\frac{1}{e^2}$$

Sannsynligheten for at lyspæras levetid er mer enn 400 timer er $\frac{1}{e^2}\approx \mathrm{0,135}$.

2-2c

Jeg bruker uttrykket for forventningsverdi som står i oppgaveteksten og beregner ved hjelp av GeoGebra:

$${\mu }_T={\int }_0^{\mathrm{\infty }}t\cdot \mathrm{0,005}\cdot e^{-\mathrm{0,005}t}dt=200$$

Forventningsverdien for $T$ er ${\mu }_T=200$ timer.