Oppgaven er hentet fra eksamen R2 V24 del 2 oppgave 4.

Kubikktall og induksjonsbevis

De fem første kubikktallene er $1^{3}, 2^{3}, 3^{3}, 4^{3}$ og $5^{3}$ , se figuren over. La $S_{n}$ være summen av de $n$ første kubikktallene.

Oppgave

Beskriv den rekursive sammenhengen mellom $S_{n}$ og $S_{n + 1}$ . Bestem en eksplisitt formel for $S_{n}$ .
Lag et program som regner ut $S_{50}$ ved å bruke den rekursive sammenhengen du fant i oppgave a.
Bruk induksjonsbevis til å bevise den eksplisitte formelen for $S_{n}$ .

Fasit

a) $S_{n + 1} = S_{n} + (n + 1)^{3}$ og $S_{n} = \frac{1}{4} (n^{4} + 2 n^{3} + n^{2})$
b) $S_{50} = 1625625$

Løsningsforslag

Dette løsningsforslaget er laget av KI og er ikke kvalitetssikret.

2-4a

Jeg setter opp de første leddene og ser om jeg finner en rekursiv sammenheng som jeg kan bruke.

\begin{aligned} S_{1} & = 1^{3} \\ S_{2} & = 1^{3} + 2^{3} = S_{1} + 2^{3} \\ S_{3} & = 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} = S_{2} + 3^{3} \end{aligned}

Jeg ser at hvert ledd er det forrige leddet, pluss det neste kubikktallet. En rekursiv sammenheng mellom summene er altså

\underset{―}{\underset{―}{S_{n + 1} = S_{n} + (n + 1)^{3}}}

For å bestemme en eksplisitt formel brukte jeg regresjon i GeoGebra.

En eksplisitt formel for summene er

S_{n} = \underset{―}{\underset{―}{\frac{1}{4} (n^{4} + 2 n^{3} + n^{2})}}

2-4b

Jeg bruker følgende program

S = 0 # starter summen på 0

for n in range(1, 51):
	# kjører løkka 50 ganger
	S = S + n**3 #legger n^3 til S

print(S)

Programmet gir at $S_{50} = 1 625 625$ .

Relatert

Tilfeldige oppgaver i samme fag

Det er ofte best å blande hvilke type oppgaver man gjør dersom du skal forberede deg til en prøve eller eksamen. Her er tre tilfeldige oppgaver i R2.

Lignende oppgaver sortert etter tema

Rekursiv sammenheng

Oppgave	Fag	År	Oppg
Boliglån månedlige terminer	2P	H23	2-4
Rekursiv sammenheng mellom pentagontall	S2	H23	2-4
Knut og Sabrina tallfølge	1P	V24	2-5
Kubikktall	S2	V24	2-4
Rekursiv formel og programmering	S2, R2	H24	2-4
Programmering av Willys spareplan	S2	H25	2-5

Figurtall

Oppgave	Fag	År	Oppg
Mønster med sirkler i figurer	2P-Y	V23	1-4
Kubikktall	S2	V24	2-4
Figurtall 2PY v2025	2P-Y	V25	1-6
Figurtall med grønne kvadrater	1P	V25	1-6
Figurtall og programmering	1T	V25	2-4
Figurtall for firkanter med hjørnetapper	2P-Y	H24	1-4
Trekantmønster og programmering 2P-Y H25	2P-Y	H25	1-6
Femkanttall og programmering	1T, 1P	H25	1-6
Gråmønster i likesidet trekant	1T	H25	2-4
Figurtall 2P-Y v2024	2P-Y	V24	1-4
Sirkelfigurer og figurmønster	2P-Y	H23	1-5

Programmering

Oppgave	Fag	År	Oppg
Sofies lån og nedbetalingsprogram	2P	V23	2-7
Grafens lengde med polylinje	R2	V23	2-6
Sum av aritmetisk rekke med kode	R2	V23	1-4
Simulere uttrekk av elevers karakter fra tilfeldig normalfordelt skole	S2	V23	2-5
Billetter til fotballkamp	S1	V23	2-5
Ukjent program del 1 S2	S2	V23	1-4
Ukjent program med kostnader for produksjon	S1	V23	1-5
Areal under graf med programmering	1T	V23	2-4
Simuler sannsynlighet for høyde over 175 cm	S2	E22	2-6
Ukjent programkode	S2	E22	1-7
Grensekostnad og programmering	S1	H23	1-5
Sannsynlighet med fem terninger	S1	H23	2-4
Tolk og fiks program som finner bunnpunkt	R1	H23	1-4
Linjestykker og geometrisk vekst	1P, 1T	H23	2-6
Kvadratserie geometrisk rekke	2P	H23	2-7
Monas lån	S2	Ingen	2-7
Ukjent program Mønster v23	S2	Ingen	1-5
Ukjent program h23	S2	H23	1-4
Rekursiv sammenheng mellom pentagontall	S2	H23	2-4
Simuler sannsynlighet for høyden til 24 måneder gammelt barn	S2	H23	2-5
Ada sparer med eksponentialfunksjon	1P	V24	1-2
Gjennomsnittlig vekstfart med program	1T	V24	1-4
Summer av oddetall og programmering	1T	V24	2-4
Innskrevet rektangel og Lars sitt program	S1, R1	V24	2-7
Programmering likningssystem Sara og Ole	2P	V24	2-4
Ukjent program S2 v24	S2, R2	V24	1-3
Kubikktall	S2	V24	2-4
Finne verdi programmet skriver ut	S1, R1	H24	1-2
Lisas salg og to programmer	1P	H24	1-4
Rekursiv formel og programmering	S2, R2	H24	2-4
Caspers kode	R2	V25	1-6
Tallfølge med programmering og induksjon	R2	V25	1-3
Normalfordelt hoppkonkurranse	S2	V25	2-2
Ukjente programmer S2 v25	S2	V25	1-4
Figurtall og programmering	1T	V25	2-4
Lars sin spareplan	1P	V25	1-7
Minimumsverdi med while-løkke	1T	V25	1-7
Program for reduksjon av matsvinn	2P-Y, 2P	V25	1-8
Utslippsreduksjon med prosentvis nedgang	2P-Y, 2P	H24	1-5
Trekantmønster og programmering 2P-Y H25	2P-Y	H25	1-6
Programmering og numerisk integrasjon	R2	H25	2-4
Einars straffesparkkonkurranse	S1	H25	1-6
Funksjonsdrøfting og halveringsmetode	R1	H25	1-5
Terningspill og forventningsverdi	S1	H25	2-6
Programmering av Willys spareplan	S2	H25	2-5
Johanns spareplan	2P	H25	1-8
Femkanttall og programmering	1T, 1P	H25	1-6
Gråmønster i likesidet trekant	1T	H25	2-4
Eksponentialfunksjon for tomflasker	2P-Y	V23	2-6
Programmering av Theas BSU-konto	2P-Y	V24	2-6
Utslipp geometrisk rekke og programmering	2P-Y	H23	2-7
	S2	H25	2-6

Bevis

Oppgave	Fag	År	Oppg
Bevis for grenseverdien til sin v delt på v	R2	V23	1-5
Likesidet trekant og cos 60°	1T	H23	1-1
Trigonometri i rettvinklet trekant	1T	V24	1-1
Vis at enhetskostnad er like grensekostnad ved laveste enhetskostnad	S2	V24	1-5
Omdreiningslegeme av sirkel om y-aksen	R2	H24	2-6
Tallfølge med programmering og induksjon	R2	V25	1-3
Vis at rekke blir ln 2	S2, R2	V25	2-5
Induksjonsbevis for geometrisk rekke	R2	H25	1-8