Derivasjon og graffortolkning

Funksjon $g$ gitt ved

$$g(x)=\frac{2x-3}{e^x}$$

er kontinuerlig og deriverbar for alle $x\in \mathbb{R}$.

Fasit

a) $f^{\prime }(x)=x^2+{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}$
b) $g^{\prime }(2)={\displaystyle \frac{1}{e^2}}$, $g^{\prime }(3)=-{\displaystyle \frac{1}{e^3}}$
c) $g$ har et toppunkt i $⟨2,3⟩$

Løsningsforslag

1-1a

Vi skriver om $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3+x^{1/2}+2$ og deriverer ledd for ledd:

$$f^{\prime }(x)=x^2+\frac{1}{2}{x}^{-1/2}=x^2+\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

$\underset{―}{\underset{―}{f^{\prime }(x)=x^2+{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}}}$

1-1b

Vi bruker kvotientsregelen på $g(x)={\displaystyle \frac{2x-3}{e^x}}$:

$$g^{\prime }(x)=\frac{2\cdot e^x-(2x-3)\cdot e^x}{e^{2x}}=\frac{e^x(2-(2x-3))}{e^{2x}}=\frac{5-2x}{e^x}$$

Da er

$$g^{\prime }(2)=\frac{5-4}{e^2}=\frac{1}{e^2}\approx 0,14\text{og}{g}^{\prime }(3)=\frac{5-6}{e^3}=-\frac{1}{e^3}\approx -0,05$$

$\underset{―}{\underset{―}{g^{\prime }(2)={\displaystyle \frac{1}{e^2}}\approx 0,14}}$ og $\underset{―}{\underset{―}{g^{\prime }(3)=-{\displaystyle \frac{1}{e^3}}\approx -0,05}}$

1-1c

Siden $g^{\prime }(2)>0$ er $g$ stigende i $x=2$, og siden $g^{\prime }(3)<0$ er $g$ avtagende i $x=3$. Dermed må $g$ ha et toppunkt et sted i det åpne intervallet $⟨2,3⟩$.

Logaritmeligninger

Fasit

a) $x=10000$ eller $x=0,01$
b) $a=4$

Løsningsforslag

1-2a

Vi setter $u=\lg x$ og løser den kvadratiske likningen:

$$u^2-2u-8=0⟹(u-4)(u+2)=0$$

Så $u=4$ eller $u=-2$, det vil si

$$\lg x=4⟹x={10}^4=10000\text{eller}\lg x=-2⟹x={10}^{-2}=0,01$$

$\underset{―}{\underset{―}{x=10000}}$ eller $\underset{―}{\underset{―}{x=0,01}}$

1-2b

Likningen ${\log }_a{\displaystyle \frac{1}{64}}=-3$ betyr $a^{-3}={\displaystyle \frac{1}{64}}$, altså $a^3=64$.

$\underset{―}{\underset{―}{a=4}}$

Grenseverdier

Fasit

a) Grenseverdien eksisterer ikke
b) $a=3$, grenseverdi $={\displaystyle \frac{1}{6}}$

Løsningsforslag

1-3a

Vi faktoriserer nevneren: $x^2-2x-8=(x-4)(x+2)$.

Nevneren går mot 0 når $x\to -2$, mens telleren gir

$$(-2{)}^2-4(-2)+2=4+8+2=14\ne 0$$

Siden teller $\to 14$ og nevner $\to 0$, eksisterer ikke grenseverdien.

1-3b

Del 1 – bestemme $a$:

For at grenseverdien skal eksistere, må telleren også gå mot 0 når $x\to -2$ (siden nevneren gjør det). Vi krever

$$(-2{)}^2+a(-2)+2=0⟹4-2a+2=0⟹a=3$$

$\underset{―}{\underset{―}{a=3}}$

Del 2 – beregne grenseverdien:

Med $a=3$: teller $=x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$.

$$\underset{x\to -2}{lim}\frac{(x+1)(x+2)}{(x-4)(x+2)}=\underset{x\to -2}{lim}\frac{x+1}{x-4}=\frac{-2+1}{-2-4}=\frac{-1}{-6}=\frac{1}{6}$$

Grenseverdien er $\underset{―}{\underset{―}{{\displaystyle \frac{1}{6}}}}$.

Koordinater, linje og ortogonalitet

I et koordinatsystem har vi gitt punktene $A(-2,3)$ og $B(3,2)$.

Linja gjennom $A$ og $B$ skjærer $x$-aksen i punktet $C$.

Et punkt $D$ er gitt ved $D(2,t)$ der $t\in \mathbb{R}$.

Fasit

a) $|AB|=\sqrt{26}$
b) $C=(13,0)$
c) $t=-3$

Løsningsforslag

1-4a

$$|AB|=\sqrt{(3-(-2){)}^2+(2-3{)}^2}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}$$

$\underset{―}{\underset{―}{|AB|=\sqrt{26}}}$

1-4b

Stigningstallet til linjen gjennom $A(-2,3)$ og $B(3,2)$ er

$$m=\frac{2-3}{3-(-2)}=-\frac{1}{5}$$

Linjens ligning: $y-3=-{\displaystyle \frac{1}{5}}(x+2)$, det vil si $y={\displaystyle \frac{13}{5}}-{\displaystyle \frac{x}{5}}$.

For $y=0$: $x=13$.

$\underset{―}{\underset{―}{C=(13,0)}}$

1-4c

Vinkelen $\mathrm{\angle }ABD=90°$ betyr at $\overrightarrow{BA}\perp \overrightarrow{BD}$, altså $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BD}=0$.

$$\overrightarrow{BA}=(-5,1)\overrightarrow{BD}=(2-3,t-2)=(-1,t-2)$$$$\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BD}=(-5)(-1)+1\cdot (t-2)=5+t-2=3+t=0⟹t=-3$$

$\underset{―}{\underset{―}{t=-3}}$

Funksjonsdrøfting og halveringsmetode

En funksjon $f$ er gitt ved

$$f(x)=4x^2\cdot \ln x$$

En elev jobber med funksjonen $f$ og har skrevet programmet nedenfor:

12345678910111213141516171819202122from math import log              # log(x) er kode for ln(x)

a = 0.1
b = 3

maks_avvik = 0.0001

def f(x):                         # definerer funksjonen
    return 4*x**2*log(x)

m = (a + b)/2

while abs(f(m)) >= maks_avvik:    # abs() finner absoluttverdi

	if f(a)*f(m) < 0:
		b = m
    else:
        a = m

    m = (a + b)/2

print(m)

Fasit

a) Bunnpunkt $({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{e}}},-{\displaystyle \frac{2}{e}})$, ingen toppunkt
b) $m\approx \mathrm{1,000}$

Løsningsforslag

1-5a

$f(x)=4x^2\ln x$ er definert for $x>0$.

$$f^{\prime }(x)=8x\ln x+4x^2\cdot \frac{1}{x}=8x\ln x+4x=4x(2\ln x+1)$$

For $x>0$ er $4x>0$, så $f^{\prime }(x)=0$ når $2\ln x+1=0$, det vil si $\ln x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$, altså $x=e^{-1/2}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{e}}}$.

Fortegnskifte: $f^{\prime }<0$ for $x<e^{-1/2}$ og $f^{\prime }>0$ for $x>e^{-1/2}$, så dette er et bunnpunkt.

$$f\left(e^{-1/2}\right)=4\cdot e^{-1}\cdot \ln \left(e^{-1/2}\right)=\frac{4}{e}\cdot (-\frac{1}{2})=-\frac{2}{e}$$

Bunnpunkt: $\underset{―}{\underset{―}{({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{e}}},-{\displaystyle \frac{2}{e}})}}$

Grafen til $f$ har ingen toppunkt.

1-5b

Eleven ønsker å finne nullpunktet til $f$ i intervallet $[0,1,3]$, ved hjelp av halveringsmetoden.

$f(0,1)=4\cdot 0,01\cdot \ln (0,1)\approx -\mathrm{0,092}<0$ og $f(3)=36\ln 3\approx 39,6>0$, så det finnes ett nullpunkt i intervallet. (Vi ser at $f(x)=4x^2\ln x=0$ for $x=1$.)

Hva programmet gjør i linje 11–20:

• Linje 11 setter $m$ til midtpunktet i intervallet $[a,b]$.
• Linje 13: loopen fortsetter så lenge $|f(m)|\ge \mathrm{0,000}1$.
• Linje 15–16: dersom $f(a)$ og $f(m)$ har motsatt fortegn, er nullpunktet i $[a,m]$ → vi oppdaterer $b=m$.
• Linje 17–18: ellers er nullpunktet i $[m,b]$ → vi oppdaterer $a=m$.
• Linje 20: ny midtpunkt beregnes.

Programmet halverer intervallet i hver iterasjon til $|f(m)|$ er tilstrekkelig liten.

Programmet skriver ut $\underset{―}{\underset{―}{m\approx \mathrm{1,000}}}$.

---

Logistisk vekstmodell

Tabellen nedenfor viser folketallet på et lite tettsted, noen år i perioden 1960–1980.

År	1960	1961	1963	1965	1967	1971	1975	1977	1980
Folketall	500	604	852	1043	1510	2163	2544	2639	2715

Fasit

a) $F(t)={\displaystyle \frac{2841}{1+5,08\cdot e^{-\mathrm{0,247}t}}}$
b) $F^{\prime }(12)\approx 115$ pers/år, $F^{″}(12)\approx -16,7$ (veksten avtar)
c) $t\in (3,33,9,82)$, dvs. ca. 1963–1970

Løsningsforslag

2-1a

Vi plotter datapunktene i GeoGebra og bruker Regresjon → Logistisk til å tilpasse en logistisk modell på formen $F(t)={\displaystyle \frac{B}{1+a\cdot e^{-kt}}}$.

Regresjonen gir (avrundede verdier):

$$F(t)=\frac{2841}{1+5,08\cdot e^{-\mathrm{0,247}t}}$$

Modell: $\underset{―}{\underset{―}{F(t)={\displaystyle \frac{2841}{1+5,08\cdot e^{-\mathrm{0,247}t}}}}}$

Gyldighetsområde: Dataene strekker seg fra 1960 til 1980 ($t\in [0,20]$). Modellen gir rimelige resultater i dette intervallet. Utenfor dette vil vi ha større usikkerhet – særlig for $t\gg 20$ der befolkningstallet ifølge modellen nærmer seg metningsgrensen $B\approx 2841$.

2-1b

Vi deriverer $F(t)$ og evaluerer i GeoGebra CAS:

$$F^{\prime }(t)=\frac{B\cdot k\cdot a\cdot e^{-kt}}{(1+a\cdot e^{-kt}{)}^2}$$

$\underset{―}{\underset{―}{F^{\prime }(12)\approx 115}}$ personer per år.

Praktisk tolkning: I 1972 (dvs. $t=12$) økte befolkningstallet med omtrent 115 personer per år.

$\underset{―}{\underset{―}{F^{″}(12)\approx -16,7}}$ (personer per år) per år.

Praktisk tolkning: $F^{″}(12)<0$ betyr at veksthastigheten er avtagende i 1972 – befolkningsveksten er på vei ned fra toppen. (Vendepunktet, der veksthastigheten er størst, inntreffer ved $t\approx 6,6$, dvs. rundt 1966–1967.)

2-1c

Vi setter $F^{\prime }(t)=150$ og løser i GeoGebra CAS:

$$F^{\prime }(t)=150$$

Løsningene er $t\approx 3,33$ og $t\approx 9,82$.

Siden $F^{\prime }(t)$ stiger mot maksimum og deretter synker, er $F^{\prime }(t)>150$ for $t\in (3,33,9,82)$, det vil si fra ca. midten av 1963 til slutten av 1969 økte befolkningstallet med mer enn 150 personer per år.

$\underset{―}{\underset{―}{t\in (3,33,9,82)}}$, dvs. fra ca. 1963 til 1970.

---

Stykkevis funksjon og deriverbarhet

Funksjonen $f$ er gitt ved

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}ax+b& x\le -2\\ 2x^3+2x^2-2x& -2<x<k\\ c& x\ge k\end{array}\text{der }a,b,c\in \mathbb{R}\text{ og }k\in ⟨-2,\to ⟩$$

Fasit

a) Ikke kontinuerlig ($f(-2)=-6$, midtdel $\to -4$)
b) $a=14$, $b=24$; enten $k=\frac{1}{3}$, $c=-\frac{10}{27}$ eller $k=-1$, $c=2$

Løsningsforslag

2-2a

Vi undersøker om $f$ er kontinuerlig i $x=-2$ med $a=2$ og $b=-2$.

Venstresiden ($x\le -2$): $f(-2)=2(-2)+(-2)=-6$

Høyresiden ($-2<x$): $\underset{x\to -2^{+}}{lim}f(x)=2(-2{)}^3+2(-2{)}^2-2(-2)=-16+8+4=-4$

Siden $-6\ne -4$ er ikke grenseverdien lik funksjonsverdien, og $f$ er ikke kontinuerlig i $x=-2$.

2-2b

Kontinuitet og deriverbarhet i $x=-2$:

Middeldelen i $x=-2$ gir (som beregnet ovenfor):

$$\underset{x\to -2^{+}}{lim}f(x)=2(-2{)}^3+2(-2{)}^2-2(-2)=-4$$

Venstresiden: $f(-2)=-2a+b$.

Krav om kontinuitet: $-2a+b=-4$ … (1)

For deriverbarhet: middeldelen har $f^{\prime }(x)=6x^2+4x-2$, som gir $f^{\prime }(-2)=6\cdot 4+4\cdot (-2)-2=14$. Venstresiden har $f^{\prime }(x)=a$.

Krav om deriverbarhet: $a=14$ … (2)

Fra (1) og (2): $-2\cdot 14+b=-4⟹b=24$.

Kontinuitet og deriverbarhet i $x=k$:

Middeldelen i $x=k$: $f(k)=2k^3+2k^2-2k$, og høyresiden er konstanten $c$.

Krav om kontinuitet: $c=2k^3+2k^2-2k$ … (3)

For deriverbarhet: høyresiden har $f^{\prime }(x)=0$. Middeldelen: $f^{\prime }(k)=6k^2+4k-2$.

Krav om deriverbarhet: $6k^2+4k-2=0⟹3k^2+2k-1=0⟹(3k-1)(k+1)=0$

$$k=\frac{1}{3}\text{eller}k=-1$$

Begge verdiene er i $⟨-2,\to ⟩$. Vi beregner $c$ for begge:

• $k={\displaystyle \frac{1}{3}}$: $c=2\cdot {\displaystyle \frac{1}{27}}+2\cdot {\displaystyle \frac{1}{9}}-2\cdot {\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{2}{27}}+{\displaystyle \frac{6}{27}}-{\displaystyle \frac{18}{27}}=-{\displaystyle \frac{10}{27}}$

• $k=-1$: $c=2(-1{)}^3+2(-1{)}^2-2(-1)=-2+2+2=2$

Svar:

$$\underset{―}{\underset{―}{a=14,b=24}}$$

og enten $\underset{―}{\underset{―}{k={\displaystyle \frac{1}{3}},c=-{\displaystyle \frac{10}{27}}}}$ eller $\underset{―}{\underset{―}{k=-1,c=2}}$.

---

Luktintensitet og logaritmisk modell

Beboerne i et boligområde klager på lukt fra et biogassanlegg. Kommunen tar luftprøver og vurderer værdata som vind og temperatur.

Prøvene analyseres, og hver prøve gis en luktverdi $C$. Denne luktverdien er gitt i luktenheter (odour units) per kubikkmeter ($\mathrm{OU}/{\mathrm{m}}^3$).

Sammenhengen mellom $C$ og luktintensiteten $I$ er gitt ved

$$I=1,4\cdot \lg (C)-0,3$$

Biogassanlegget er pålagt å forholde seg til tabellen nedenfor.

Luktintensitet ($I$)	Vurdering
$<1$	uproblematisk
$1$–$2$	akseptabelt
$2$–$3$	kan aksepteres kortvarig
$3$–$4$	plagsom lukt, bør begrenses
$>4$	plagsomt, tiltak kreves

Resultatet av prøvene viser luktverdier mellom $500\mathrm{OU}/{\mathrm{m}}^3$ og $1400\mathrm{OU}/{\mathrm{m}}^3$.

Biogassanlegget tar klagene på alvor og ønsker å redusere luktplagene.

Fasit

a) Ja, $I\in (3,48,4,10)$ – godt over akseptabelt nivå
b) $C\le 44\mathrm{OU}/{\mathrm{m}}^3$

Løsningsforslag

2-3a

Vi beregner luktintensiteten for de to ytterverdiene $C=500$ og $C=1400$:

$$\begin{array}{rl}I(500)& =1,4\cdot \lg (500)-0,3\approx 1,4\cdot \mathrm{2,699}-0,3\approx 3,48\\ I(1400)& =1,4\cdot \lg (1400)-0,3\approx 1,4\cdot \mathrm{3,146}-0,3\approx 4,10\end{array}$$

Luktintensiteten ligger mellom ca. $3,5$ og $4,1$, noe som ifølge tabellen tilsvarer kategoriene «plagsom lukt, bør begrenses» og «plagsomt, tiltak kreves».

Ja, beboerne har grunnlag for å klage. $\underset{―}{\underset{―}{I\in (3,48,4,10)}}$, som er langt over akseptabelt nivå.

2-3b

For akseptabel luktintensitet kreves $I\le 2$:

$$1,4\cdot \lg (C)-0,3\le 2⟹1,4\cdot \lg (C)\le 2,3⟹\lg (C)\le \frac{2,3}{1,4}=\frac{23}{14}$$$$C\le {10}^{23/14}\approx 44\mathrm{OU}/{\mathrm{m}}^3$$

Nye prøver må vise $\underset{―}{\underset{―}{C\le 44\mathrm{OU}/{\mathrm{m}}^3}}$ for at luktintensiteten skal bli akseptabel.

(Til sammenligning viser nåværende prøver 500–1400 $\mathrm{OU}/{\mathrm{m}}^3$, så en reduksjon på over 90 % er nødvendig.)

---

Parameterframstilling og møtepunkt

Ina følger en sti fra ei hytte til et utsiktspunkt. I et koordinatsystem der enheten langs aksene er meter, ligger hytta i punktet $H(0,300)$ og utsiktspunktet i $U(1200,400)$. Stien mellom hytta og utsiktspunktet er en rett linje. Ina går med konstant fart.

Hele turen tar 20 minutter.

Jonas er ute på tur i samme område som Ina. De to vennene møter hverandre.

Jonas sin posisjon $t$ minutter etter at han startet sin tur, er gitt ved

$$j:\{\begin{array}{ll}x=520-20t& \\ y=310+5t\end{array}$$

Fasit

b) $(300,325)$
c) ${\displaystyle \frac{\sqrt{145}}{12}}\approx 1,00\mathrm{m}/\mathrm{s}$
d) $35\sqrt{145}\approx 421,5\mathrm{m}$

Løsningsforslag

2-4a

Parameterframstillingen er

$$I:\{\begin{array}{l}x=1200s\\ y=300+100s\end{array}s\in [0,1]$$

Vi sjekker endepunktene:

• $s=0$: $(x,y)=(0,300)=H$ ✓
• $s=1$: $(x,y)=(1200,400)=U$ ✓

Retningsvektoren er $(1200,100)=\overrightarrow{HU}$, og startpunktet er $H$. Dermed er parameterfremstillingen den rette linjen fra $H$ til $U$, og for $s\in [0,1]$ dekker den nøyaktig linjestykket $HU$.

2-4b

Hele turen er 20 minutter, og etter 5 minutter er $s={\displaystyle \frac{5}{20}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$.

$$x=1200\cdot \frac{1}{4}=300y=300+100\cdot \frac{1}{4}=325$$

Etter 5 minutter er Ina i posisjonen $\underset{―}{\underset{―}{(300,325)}}$.

2-4c

Strekningslengden fra $H$ til $U$ er

$$|HU|=\sqrt{{1200}^2+{100}^2}=\sqrt{1440000+10000}=\sqrt{1450000}=100\sqrt{145}\approx 1204\mathrm{m}$$

Turen tar 20 min $=20\cdot 60\mathrm{s}=1200\mathrm{s}$.

$$v=\frac{100\sqrt{145}}{1200}=\frac{\sqrt{145}}{12}\approx 1,00\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

Farten til Ina er $\underset{―}{\underset{―}{{\displaystyle \frac{\sqrt{145}}{12}}\approx 1,00\mathrm{m}/\mathrm{s}}}$.

2-4d

Vi skriver Inas posisjon som funksjon av sin tid $t_I$ (minutter fra start):

$$I:\{\begin{array}{l}x=60t_I\\ y=300+5t_I\end{array}$$

Vi setter Inas og Jonas sin posisjon lik hverandre:

$$\{\begin{array}{l}60t_I=520-20t_J\\ 300+5t_I=310+5t_J\end{array}$$

Fra andre ligning: $t_I-t_J=2$, dvs. $t_I=t_J+2$.

Setter inn i første ligning:

$$60(t_J+2)=520-20t_J⟹80t_J=400⟹t_J=5$$

Altså $t_I=7$ (Ina har gått i 7 minutter).

Møtepunkt: $(60\cdot 7,300+5\cdot 7)=(420,335)$.

Avstand Ina har gått:

$$\sqrt{(420-0{)}^2+(335-300{)}^2}=\sqrt{{420}^2+{35}^2}=\sqrt{176400+1225}=\sqrt{177625}=35\sqrt{145}$$

Alternativt: Ina har gått ${\displaystyle \frac{7}{20}}$ av turen, så ${\displaystyle \frac{7}{20}}\cdot 100\sqrt{145}=35\sqrt{145}$.

Ina har gått $\underset{―}{\underset{―}{35\sqrt{145}\approx 421,5\mathrm{m}}}$ når hun møter Jonas.

---

Vektorer, lengde og ortogonalitet

For $\overrightarrow{a}$ og $\overrightarrow{b}$ er $|\overrightarrow{a}|=4$, $|\overrightarrow{b}|=2\sqrt{3}$ og vinkelen mellom $\overrightarrow{a}$ og $\overrightarrow{b}$ er $30\mathrm{°}$.

Det er gitt at $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$.

Det er gitt at $\overrightarrow{q}=t\cdot \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$, der $t\in \mathbb{R}$.

Fasit

a) $|\overrightarrow{p}|=2\sqrt{13}$
b) $t=-{\displaystyle \frac{6}{7}}$

Løsningsforslag

2-5a

Vi beregner $|\overrightarrow{p}{|}^2=|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^2$:

$$|\overrightarrow{p}{|}^2=|\overrightarrow{a}{|}^2+2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|$$

Prikkproduktet er

$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos 30°=4\cdot 2\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=4\cdot 3=12$$

Dermed

$$|\overrightarrow{p}{|}^2=16+2\cdot 12+12=52$$

$\underset{―}{\underset{―}{|\overrightarrow{p}|=\sqrt{52}=2\sqrt{13}}}$

2-5b

$\overrightarrow{p}\perp \overrightarrow{q}$ krever $\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{q}=0$:

$$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot (t\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=t|\overrightarrow{a}{|}^2+\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+t\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}+|\overrightarrow{b}|=16t+12+12t+12=28t+24$$$$28t+24=0⟹t=-\frac{24}{28}=-\frac{6}{7}$$

$\underset{―}{\underset{―}{t=-{\displaystyle \frac{6}{7}}}}$

---

Grafer og dobbeltderivert

Nedenfor ser du åtte grafer.

• En av grafene er grafen til en funksjon på formen $a^x$, der $a$ er et positivt helt tall.
• Tre av grafene er grafer til funksjoner på formen $x^b-c$, der $b$ og $c$ er positive hele tall.
• Fire av grafene er grafene til den dobbeltderiverte til de fire funksjonene som er beskrevet ovenfor.

Fasit

a) Par: A–G, B–C, D–F, E–H
b) A, B, C og G har invers funksjon

Løsningsforslag

2-6a

Vi analyserer de åtte grafene ut fra egenskapene til de fire funksjonstypene og deres andredeiverte:

Funksjon	Andredeiverte
$a^x$	$(\ln a{)}^2\cdot a^x$ – samme form, alltid positiv
$x^2-c$	$2$ – en konstant, horisontal linje
$x^3-c$	$6x$ – lineær gjennom origo
$x^4-c$	$12x^2$ – parabel åpnende oppover gjennom origo

Parene er:

• A og G: A er eksponentielt voksende (grafen til $a^x$, alltid positiv, konveks). G har samme form – dette er grafen til den andredeiverte $(\ln a{)}^2{a}^x$, som er proporsjonal med $a^x$.

• E og H: E er en parabel med bunnpunkt under $x$-aksen, som passer med $x^2-c$ for $c>0$. H er en horisontal linje, noe som stemmer med den konstanteandredeiverte $f^{″}(x)=2$.

• B og C: B er en S-formet kurve (stigende gjennom hele definisjonsmengden), som passer med $x^3-c$. C viser en rett stigende linje for $x>0$, noe som stemmer med den lineære andredeiverte $f^{″}(x)=6x$.

• D og F: D er en U-formet kurve, flatere enn en parabel nær origo, som passer med $x^4-c$. F er en parabel åpnende oppover med toppunkt i origo, noe som stemmer med $f^{″}(x)=12x^2$.

Sammenstilling:

Par	Funksjon	Andredeiverte
1	A ($a^x$)	G
2	E ($x^2-c$)	H
3	B ($x^3-c$)	C
4	D ($x^4-c$)	F

2-6b

En funksjon har en invers funksjon dersom og bare dersom den er injektiv (en-til-en), dvs. strengt stigende eller strengt avtagende på hele definisjonsmengden.

• A ($a^x$): strengt stigende for alle $x$ → har invers ✓
• B ($x^3-c$): strengt stigende for alle $x$ → har invers ✓
• C ($6x$): strengt stigende for alle $x$ → har invers ✓
• G ($(\ln a{)}^2{a}^x$): strengt stigende for alle $x$ → har invers ✓
• D ($x^4-c$): ikke monoton (avtar, deretter stiger) → har ikke invers
• E ($x^2-c$): ikke monoton (avtar, deretter stiger) → har ikke invers
• F ($12x^2$): ikke monoton (avtar, deretter stiger) → har ikke invers
• H (konstant): ikke en-til-en → har ikke invers

$\underset{―}{\underset{―}{\text{Grafene A, B, C og G er grafer til funksjoner med invers funksjon.}}}$