R1 eksamen V2024

Oversikt

Del 1 — 1 time — uten hjelpemidler

Oppgave	Navn	Temaer	Løsningsforslag
1-1	Derivasjon med produktregel og ln	derivasjon, logaritmer	❌
1-2	Logaritmeligningen med substitusjon	logaritmer, likninger	❌
1-3	Grenseverdier av eksponentialfunksjon	eksponentialfunksjoner, grenseverdi	❌
1-4	Tre punkter på linje og rettvinklet trekant	vektorer, geometri, likninger	❌
1-5	Kontinuerlig funksjon med størst mulig definisjonsmengde	kontinuitet, funksjoner, delt forskrift	❌

Del 2 — 4 timer — med hjelpemidler

Oppgave	Navn	Temaer	Løsningsforslag
2-1	Influensaepidemi og logistisk vekst	logistisk funksjon, derivasjon, asymptoter, modellering	❌
2-2	Påstander om logaritme, derivasjon og invers	logaritmer, derivasjon, funksjoner, argumentasjon, delt forskrift	❌
2-3	To biler på kryss og motorvei	vektorer, derivasjon, modellering	❌
2-4	Momentmagnitudeskala og energi	logaritmer, eksponentialfunksjoner, modellering	❌
2-5	Modell for drivstoffutvikling i Moss	regresjon, modellering, eksponentiell vekst	❌
2-6	Innskrevet rektangel og Lars sitt program	derivasjon, programmering, funksjonsdrøfting	❌
2-7	Pyramide i halvkule – størst mulig volum	geometri, derivasjon	❌

Del 1

Oppgave 1-1

Derivasjon med produktregel og ln

Oppgave

Deriver funksjonen.

$f (x) = 4 x^{2} \cdot \ln (3 x)$

Fasit

$f^{'} (x) = 4 x (2 \ln (3 x) + 1)$

Løsningsforslag

Vi ønsker å bruke produktregelen, men da må vi kunne derivere begge faktorene. Jeg må derivere $\ln (3 x)$ ved å bruke kjerneregelen først ved å sette $u = 3 x$

{(\ln (3 x))}^{'} = {(\ln u)}^{'} \cdot u^{'} = \frac{1}{u} \cdot 3 = \frac{3}{3 x} = \frac{1}{x}

Vi bruker produktregelen.

\begin{aligned} f^{'} (x) & = (4 x^{2})^{'} \cdot \ln (3 x) + 4 x^{2} \cdot {(\ln (3 x))}^{'} \\ = 8 x \cdot \ln (3 x) + 4 x^{2} \cdot \frac{1}{x} \\ = 8 x \cdot \ln (3 x) + 4 x \\ = 4 x (2 \ln (3 x) + 1) \end{aligned}

Oppgave 1-2

Logaritmeligningen med substitusjon

Oppgave

Løs likningen.

$(\ln x)^{2} - \ln x = 6$

Fasit

Oppgave 1-3

Grenseverdier av eksponentialfunksjon

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = e^{- x + 1}, D_{f} = R .

Oppgave

Bestem grenseverdiene $lim_{x \to \infty} f (x)$ og $lim_{x \to - \infty} f (x)$ dersom de eksisterer.

Fasit

Oppgave 1-4

Tre punkter på linje og rettvinklet trekant

Vi har gitt tre punkter $A (3, 4)$ , $B (- 1, - 2)$ og $C (3 + t, 2 t)$ der $t \in R$ .

Oppgave

Bestem $t$ slik at punktene $A$ , $B$ og $C$ ligger på en rett linje.
Bestem $t$ slik at punktene $A$ , $B$ og $C$ danner en trekant slik at $∠ C = 90 °$ .

Fasit

Oppgave 1-5

Kontinuerlig funksjon med størst mulig definisjonsmengde

En funksjon $f$ er definert ved

f (x) = {\begin{cases} x, & 0 \leq x \leq 2 \\ 5 - x, & 2 < x \leq 5 \end{cases}

Oppgave

Gi funksjonen $f$ en ny definisjonsmengde slik at følgende er oppfylt samtidig:

$f$ skal være kontinuerlig.
Den nye definisjonsmengden skal være så stor som mulig.
Verdimengden til $f$ skal være uendret.

Fasit

Del 2

Oppgave 2-1

Influensaepidemi og logistisk vekst

En influensaepidemi bryter ut på en videregående skole med 1000 elever. I starten er det få smittede, men antallet øker raskt. Antallet smittede elever $S (t)$ etter $t$ dager er tilnærmet gitt ved

S (t) = \frac{300}{1 + 28 \cdot e^{- 0, 3 t}} .

Oppgave

Hvor lang tid tar det før 100 elever er smittet?
På hvilket tidspunkt blir flest elever smittet, og hvor raskt sprer smitten seg da?
Undersøk om $S$ har asymptoter, og forklar hvilken praktisk tolkning asymptotene eventuelt har.

Fasit

Oppgave 2-2

Påstander om logaritme, derivasjon og invers

Avgjør om hver av påstandene nedenfor er sann eller usann. Forklar tydelig hvordan du har resonnert.

Oppgave

Påstand: Når $x > 0$ , er $e^{k \cdot \ln (x)} = x^{k}$ .
En funksjon $f$ er gitt ved
$f (x) = {\begin{cases} x^{3} - 2, & x < 2 \\ 3 x^{2} - 4, & x \geq 2 \end{cases}$
Påstand: Funksjonen er deriverbar i $x = 2$ .
Påstand: En funksjon som er både minkende og voksende i definisjonsmengden sin, kan ha en omvendt funksjon.

Fasit

Oppgave 2-3

To biler på kryss og motorvei

To biler, A og B, kjører på hver sin vei. Posisjonen til bil A er gitt ved $\vec{r_{A}} (t)$ , og posisjonen til bil B er gitt ved $\vec{r_{B}} (t)$ , der

\vec{r_{A}} (t) = [\frac{1}{2} (t - 4), t] og \vec{r_{B}} (t) = [\frac{1}{2} t, \frac{3}{2} (t - \frac{1}{5})] .

Her er $t$ tiden målt i minutter, og avstandene er målt i kilometer.

Oppgave

Bestem avstanden i luftlinje mellom bilene etter 1 minutt.

En av veiene er en motorvei. Den andre veien er en vei med lavere fartsgrense.

Oppgave

Gjør beregninger og argumenter for hvilken av bilene som er på motorveien.

Veiene krysser hverandre i et veikryss.

Oppgave

Gjør beregninger og argumenter for hvilken av bilene som kommer til veikrysset først.

Fasit

Oppgave 2-4

Momentmagnitudeskala og energi

Momentmagnitudeskalaen er en skala for å måle størrelsen på jordskjelv. Sammenhengen mellom momentmagnituden $M$ og energien $E$ er

M = \frac{2}{3} \lg (E) - 3, 2.

Energien $E$ måles i joule (J).

Oppgave

Bestem et uttrykk for energien $E$ som løses ut i et jordskjelv, uttrykt ved momentmagnituden $M$ . Bruk dette uttrykket til å regne ut hvor mye energi som løses ut i et jordskjelv som måler $4, 7$ på momentmagnitudeskalaen.
Hvor mange ganger så stor er energien som løses ut i et jordskjelv, dersom $M$ øker med 1?

Fasit

Oppgave 2-5

Modell for drivstoffutvikling i Moss

Det har vært en stor endring i hvilken type drivstoff bilene i Norge bruker. Statistisk sentralbyrå samler inn data om dette, og tabellen viser en oversikt over typen drivstoff til registrerte personbiler i Moss i perioden 2010–2022.

Oppgave

Bruk opplysningene i tabellen til å lage modeller du mener beskriver utviklingen i drivstofftypene bensin og elektrisk («El.») $t$ år etter 2010. Argumenter for valg av modeller.
Ut fra modellene du har laget, hvordan vil du vurdere veksten i drivstofftypene bensin og elektrisk i årene framover, etter 2022? Kommenter gyldigheten til modellene dine.

Personbiler per drivstofftype i Moss. Kilde: Skjermdump av ssb.no, utdrag fra tabell 07849

Fasit

Oppgave 2-6

Innskrevet rektangel og Lars sitt program

En funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = - x^{2} + 4, 0 \leq x \leq 2.

Lars har tegnet grafen til $f$ med et innskrevet rektangel $A B C D$ . Lars har også skrevet et program.

Grafen til

12345678910111213141516def f(x):
    return -x**2 + 4

def areal(x):
    return x*f(x)

h = 0.0001
def der_areal(x):
    return (areal(x + h) - areal(x))/h

x = 0
dx = 0.01
while der_areal(x + dx) > 0:
    x = x + dx

print(areal(x))

Oppgave

Forklar hva Lars prøver å finne ut med programmet. Hva blir svaret hvis man kjører programmet?
Hvilken strategi bruker Lars i programmet sitt? Vil strategien fungere uavhengig av hvilken funksjon $f$ er?

Fasit

Oppgave 2-7

Pyramide i halvkule – størst mulig volum

En kule med radius $r$ deles i to like deler. Vi skal skjære ut en pyramide med rektangulær grunnflate av den ene halvkulen. Grunnflaten skal ligge i snittflaten til halvkulen.

Halvkule med innskrevet pyramide

Volumet av en pyramide er gitt ved

V = \frac{h \cdot G}{3},

der $G$ er grunnflaten og $h$ er høyden til pyramiden.

Oppgave

Bestem et uttrykk for det største volumet en slik pyramide kan ha.