R1 eksamen V2025

Oversikt

Del 1 — 2 timer — uten hjelpemidler

Oppgave	Navn	Temaer	Løsningsforslag
1-1	Derivasjon av eksponential og potensfunksjon	derivasjon, eksponentialfunksjoner	❌
1-2	Nullpunkter og ekstremalpunkter med produkt	derivasjon, funksjonsdrøfting	❌
1-3	Eksponential- og logaritmelikninger	eksponentialfunksjoner, logaritmer	❌
1-4	Grenseverdier med algebraisk forenkling	grenseverdi	❌
1-5	Kontinuitet og deriverbarhet stykkevis	kontinuitet, derivasjon	❌
1-6	Vektorer og basketball	vektorer, geometri	❌

Del 2 — 3 timer — med hjelpemidler

Oppgave	Navn	Temaer	Løsningsforslag
2-1	Logistisk vekstmodell batteriteknologi	logistisk funksjon, modellering, derivasjon	❌
2-2	Omvendt funksjon og tangentlikninger	funksjoner, derivasjon	❌
2-3	Stykkevis funksjon med ukjent uttrykk	kontinuitet, derivasjon, funksjoner, delt forskrift	❌
2-4	Fiskebåt og vektorbevegelse	vektorer, modellering	❌
2-5	Tangent til ln og trekantareal	logaritmer, derivasjon, areal	❌

Del 1

Oppgave 1-1

Derivasjon av eksponential og potensfunksjon

Oppgave

Deriver funksjonen $f$ gitt ved

$f (x) = e^{- 2 x} + \frac{1}{5} x^{5} - 2 π$

Fasit

Oppgave 1-2

Nullpunkter og ekstremalpunkter med produkt

En funksjon $g$ er gitt ved $g (x) = \frac{1}{2} e^{x} \cdot (2 x - 1)^{2}$

Oppgave

Bestem eventuelle nullpunkter til funksjonen $g$ .
Vis at $g^{'} (x) = \frac{1}{2} e^{x} (2 x - 1) (2 x + 3)$
Finn koordinatene til eventuelle topp- og bunnpunkter på grafen til $g$ .

Fasit

Oppgave 1-3

Eksponential- og logaritmelikninger

Løs likningene

Oppgave

$3^{3 x + 2} - 5 = 76$
$3 \lg x + 2 \lg x^{2} + \lg \frac{1}{x^{9}} = 2$

Fasit

Oppgave 1-4

Grenseverdier med algebraisk forenkling

Oppgave

Bestem grenseverdiene

$lim_{x \to 3} \frac{3 (x^{2} - 3)}{x - 3}$
$lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4}$

Fasit

Løsningsforslag

a

Vi ser at nevneren går mot null når $x \to 3$ , mens telleren går mot $3 \cdot (9 - 3) = 3 \cdot 6 = 18$ .

La oss se hva som skjer når vi nærmer oss $3$ fra venstre side. Jeg velger $x = 2, 5$ for å få en følelse for tallene.

\frac{3 (2, 5^{2} - 3)}{2, 5 - 3} = \frac{3 (6, 25 - 3)}{- 0, 5} = \frac{3 \cdot 3, 25}{- 0, 5} = - 19, 5

Hvis vi hadde valgt en verdi nærmere $3$ ville fått et enda mer ekstremt negativt svar.

lim_{x \to 3^{-}} \frac{3 (x^{2} - 3)}{x - 3} = - \infty

Når vi nærmer oss 3 fra høyre side så får vi (vi velger 3,5)

\frac{3 (3, 5^{2} - 3)}{3, 5 - 3} = \frac{3 (12, 25 - 3)}{0, 5} = \frac{3 \cdot 9, 25}{0, 5} \approx 55

Hvis vi hadde valgt et tall nærmere 3 ville vi fått et enda mer ekstremt positivt svar.

lim_{x \to 3^{+}} \frac{3 (x^{2} - 3)}{x - 3} = \infty

Grenseverdien eksisterer ikke siden grenseverdiene fra venstre og høyre side ikke stemmer overens.

Oppgave 1-5

Kontinuitet og deriverbarhet stykkevis

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = {\begin{cases} x^{2} + 2, & x < 0 \\ 2 e^{x}, & x \geq 0 \end{cases}

Oppgave

Avgjør om $f$ er kontinuerlig i $x = 0$ .
Avgjør om $f$ er deriverbar i $x = 0$ .

Fasit

Oppgave 1-6

Vektorer og basketball

Jelena, Nils og Ahmad spiller basketball. Tenk deg at vi legger et koordinatsystem over banen. Ved et tidspunkt befinner Jelena seg i punktet $J (0, 0)$ , Nils befinner seg i punktet $N (- 1, 2)$ , og Ahmad befinner seg i punktet $A (1, 1)$ . Enheten langs aksene er meter.

Oppgave

Hvor langt er det mellom Nils og Ahmad? Gi svaret eksakt.

En basketball ligger i punktet $(- 1, a)$ , der $a \in R$ . Vektoren som går fra Jelena til ballen, er parallell med vektoren som går fra Nils til Ahmad.

Oppgave

Bestem $a$ .

Nils flytter seg til et nytt punkt $M$ . $M$ er det nærmeste punktet som er plassert slik at avstanden mellom Jelena og Nils er $\sqrt{10}$ meter. Vinkelen mellom Nils, Ahmad og Jelena, $∠ M A J$ , er 90 grader.

Oppgave

Bestem koordinatene til $M$ .

Fasit

Del 2

Oppgave 2-1

Logistisk vekstmodell batteriteknologi

Teknologiselskapet PowBat skal lansere en ny batteriteknologi i en by med 3 millioner husstander. PowBat regner med at antallet husstander som har batteriet $t$ uker etter lanseringen, vil følge modellen $S$ gitt ved

S (t) = \frac{2 500 000}{1 + 2500 \cdot e^{- 0, 08 t}}

Oppgave

Hvor lang tid vil det ta før halvparten av husstandene i byen har batteriet, ifølge modellen?
Bestem $S^{'} (52)$ . Gi en praktisk tolkning av svaret.

Det viser seg at konkurrenten BA3 planlegger å lansere et batteri med tilsvarende teknologi samtidig. Dette vil påvirke salget til PowBat.

Etter å ha hørt om planene til BA3 antar PowBat at

de totalt vil få solgt batteriet sitt til 1,5 millioner husstander
500 husstander har batteriet når det lanseres
flest nye husstander kjøper batteriet i uke 60

Oppgave

Bruk antakelsene ovenfor til å finne en ny logistisk modell $F$ for antallet husstander som har batteriet etter $t$ uker.

Fasit

Oppgave 2-2

Omvendt funksjon og tangentlikninger

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} - 1

og har definisjonsmengden $I = [a, b]$ der $a, b \in R$ .

Oppgave

Bestem det største intervallet $I$ , slik at $f$ har en omvendt funksjon $g$ når $2 \in I$ .
Bestem stigningstallet til tangenten til grafen til $g$ i punktet $(- 10, 3)$ .
Grafen til $g$ har en annen tangent med samme stigningstall som tangenten i punktet $(- 10, 3)$ . Bestem koordinatene til tangeringspunktet.

Fasit

Oppgave 2-3

Stykkevis funksjon med ukjent uttrykk

Amalie arbeider med en funksjon $f$ med delt forskrift og skal vise funksjonsuttrykket til de andre i klassen. Dessverre har hun sølt på arket sitt og klarer ikke å lese alt som står der.

f (x) = {\begin{cases} - 9 x - 15, & x \leq - 2 \\ ◼ ◼ ◼ ◼, & - 2 < x < 1 \\ \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{7}{2}, & x \geq 1 \end{cases}

Hun husker at $f$ er kontinuerlig og deriverbar for alle $x \in R$ . Hun husker også at det midterste uttrykket er et tredjegradspolynom.

Oppgave

Bruk dette til å bestemme hele funksjonsuttrykket til $f$ .

Fasit

Oppgave 2-4

Fiskebåt og vektorbevegelse

Posisjonen $\vec{r}$ til en fiskebåt $t$ timer etter at den drar fra land, er gitt ved

\vec{r} (t) = [1 + 5 t, 4 + 8 t]

Enhetene langs aksene er kilometer.

Farten til en båt måles vanligvis i knop, der 1 knop er 1852 meter per time.

Oppgave

Bestem farten til fiskebåten i knop.

Et fyr står i posisjonen $(4, 7)$ .

Oppgave

Bestem den minste avstanden mellom fiskebåten og fyret.

En fiskestim er i punktet $(1, - 3)$ ved tiden $t = 0$ , og stimen svømmer med hastigheten $\vec{v} (t) = [4, 11]$ .

Oppgave

Vil fiskebåten treffe fiskestimen?

En annen fiskebåt er i punktet $(- 2, 0)$ ved tiden $t = 0$ og holder konstant fart i retning langs $\vec{u} = [6, 4]$ .

Oppgave

Bestem farten denne fiskebåten må holde for å treffe fiskestimen.

Fasit

Oppgave 2-5

Tangent til ln og trekantareal

Nedenfor ser du grafen til funksjonen $f$ gitt ved $f (x) = \ln x$ .

Et punkt $B$ på grafen til $f$ er plassert slik at tangenten til grafen i punktet $B$ går gjennom $A (0, 0)$ .

Punktet $C$ er plassert på linja $y = x$ slik at $∠ A C B = 90 °$ .

Grafen til f(x) = ln x med punkt B, tangent og trekant ABC

Oppgave

Bestem eksakte verdier for koordinatene til punktet $B$ .
Bestem det eksakte arealet av trekant $A B C$ .