Derivasjon og tolkning av stigningstall

Funksjon $g$ gitt ved

$$g(x)=\frac{2x-3}{e^x}$$

er kontinuerlig og deriverbar for alle $x\in \mathbb{R}$.

Fasit

a) $f^{\prime }(x)=x^2+{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}$
b) $g^{\prime }(2)={\displaystyle \frac{1}{e^2}}$, $g^{\prime }(3)=-{\displaystyle \frac{1}{e^3}}$
c) Grafen til $g$ har et toppunkt i intervallet $⟨2,3⟩$

Løsningsforslag

1-1a

Vi bruker potensregler og derivasjonsregler:

$$f(x)=\frac{1}{3}{x}^3+x^{1/2}+2$$$$f^{\prime }(x)=x^2+\frac{1}{2}{x}^{-1/2}=x^2+\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

$\underset{―}{\underset{―}{f^{\prime }(x)=x^2+{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}}}}$

1-1b

Vi bruker kvotientregelen på $g(x)={\displaystyle \frac{2x-3}{e^x}}$:

$$g^{\prime }(x)=\frac{2\cdot e^x-(2x-3)\cdot e^x}{(e^x{)}^2}=\frac{e^x(2-2x+3)}{e^{2x}}=\frac{5-2x}{e^x}$$

Dermed:

$$\begin{array}{rl}{g}^{\prime }(2)& =\frac{5-2\cdot 2}{e^2}=\frac{1}{e^2}\\ g^{\prime }(3)& =\frac{5-2\cdot 3}{e^3}=-\frac{1}{e^3}\end{array}$$

$\underset{―}{\underset{―}{g^{\prime }(2)={\displaystyle \frac{1}{e^2}}}}$ og $\underset{―}{\underset{―}{g^{\prime }(3)=-{\displaystyle \frac{1}{e^3}}}}$

1-1c

Siden $g^{\prime }(2)={\displaystyle \frac{1}{e^2}}>0$, er grafen til $g$ stigende i $x=2$.

Siden $g^{\prime }(3)=-{\displaystyle \frac{1}{e^3}}<0$, er grafen til $g$ synkende i $x=3$.

Fordi $g^{\prime }$ er kontinuerlig og skifter fortegn fra positivt til negativt i intervallet $⟨2,3⟩$, har $g$ et toppunkt et sted i dette intervallet.

Logaritmiske likninger og logbaser

Fasit

a) $x=10000$ og $x=0,01$
b) $a=4$

Løsningsforslag

1-2a

Vi setter $u=\lg x$ og skriver om likningen:

$$\begin{array}{rl}{u}^2-2u-8& =0\\ (u-4)(u+2)& =0\\ u=4& \text{eller}u=-2\end{array}$$

Tilbake til $x$:

$$\lg x=4⟹x={10}^4=\underset{―}{\underset{―}{10000}}$$$$\lg x=-2⟹x={10}^{-2}=\underset{―}{\underset{―}{0,01}}$$

1-2b

Vi bruker definisjonen av logaritme:

$${\log }_a\frac{1}{64}=-3⟹a^{-3}=\frac{1}{64}⟹a^3=64⟹a=\sqrt[3]{64}$$

$\underset{―}{\underset{―}{a=4}}$

Grenseverdier og eksistens

Fasit

a) Grenseverdien eksisterer ikke
b) $a=3$, grenseverdi $={\displaystyle \frac{1}{6}}$

Løsningsforslag

1-3a

Vi sjekker nevneren i $x=-2$:

$$x^2-2x-8=(x-4)(x+2)⟹\text{nevner}=0\text{ når }x=-2$$

Telleren i $x=-2$:

$$(-2{)}^2-4\cdot (-2)+2=4+8+2=14\ne 0$$

Siden nevneren er $0$ og telleren er $\ne 0$ i $x=-2$, eksisterer ikke grenseverdien.

1-3b

Del 1 – bestem $a$:

For at grenseverdien skal eksistere, må telleren også være $0$ i $x=-2$:

$$(-2{)}^2+a\cdot (-2)+2=0⟹6-2a=0⟹\underset{―}{\underset{―}{a=3}}$$

Del 2 – bestem grenseverdien:

Med $a=3$ faktoriserer vi teller og nevner:

$$\frac{x^2+3x+2}{x^2-2x-8}=\frac{(x+1)(x+2)}{(x-4)(x+2)}$$

Kansellerer $(x+2)$ (vi ser bort fra $x=-2$ siden vi tar grenseverdi):

$$\underset{x\to -2}{lim}\frac{(x+1)\cancel{(x+2)}}{(x-4)\cancel{(x+2)}}=\frac{-2+1}{-2-4}=\frac{-1}{-6}$$

Grenseverdien er $\underset{―}{\underset{―}{{\displaystyle \frac{1}{6}}}}$.

Kombinatorikk og passord

Et passord skal bestå av tre tegn og lages av sifrene 1–9 og bokstavene A–F.
Det første tegnet skal være en bokstav, og de to neste tegnene skal være to ulike siffer.

Et annet passord skal også bestå av tre tegn.

• Hvert tegn skal være et av sifrene 1, 2, 3, 4 eller en av bokstavene A, B, C.
• Både sifrene og bokstavene kan forekomme flere ganger.
• Passordet må inneholde minst én bokstav og minst ett siffer.

Fasit

a) $432$
b) $252$

Løsningsforslag

1-4a

• Første tegn: én av bokstavene A–F → $6$ valg
• Andre tegn: ett av sifrene 1–9 → $9$ valg
• Tredje tegn: ett av de resterende 8 sifrene → $8$ valg

$$6\cdot 9\cdot 8=\underset{―}{\underset{―}{432}}$$

Det er mulig å lage $432$ ulike passord.

1-4b

Totalt $7$ tegn: $\{1,2,3,4,A,B,C\}$. Uten begrensninger: $7^3=343$ passord.

Vi trekker fra de som ikke oppfyller kravet om minst én bokstav og minst ett siffer:

• Kun siffer $\{1,2,3,4\}$: $4^3=64$ passord
• Kun bokstav $\{A,B,C\}$: $3^3=27$ passord

$$343-64-27=\underset{―}{\underset{―}{252}}$$

Det er mulig å lage $252$ ulike passord.

Topp- og bunnpunkter med ln

En funksjon $f$ er gitt ved

$$f(x)=4x^2\cdot \ln x$$

Fasit

Bunnpunkt: $({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{e}}},-{\displaystyle \frac{2}{e}})$

Løsningsforslag

Vi har $f(x)=4x^2\cdot \ln x$ definert for $x>0$. Deriverer med produktregelen:

$$f^{\prime }(x)=8x\cdot \ln x+4x^2\cdot \frac{1}{x}=8x\ln x+4x=4x(2\ln x+1)$$

For $x>0$ er $4x>0$ alltid, så $f^{\prime }(x)=0$ krever:

$$2\ln x+1=0⟹\ln x=-\frac{1}{2}⟹x=e^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{e}}$$

Fortegnsskjema for $f^{\prime }(x)$:

$x$	$0$		${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{e}}}$		$\to$
$f^{\prime }(x)$		$-$	$0$	$+$
$f(x)$		$\searrow$	bunn	$\nearrow$

$f^{\prime }$ skifter fortegn fra $-$ til $+$, så det er et bunnpunkt.

Funksjonsverdien:

$$f\left(\frac{1}{\sqrt{e}}\right)=4\cdot \frac{1}{e}\cdot (-\frac{1}{2})=-\frac{2}{e}$$

Grafen til $f$ har et bunnpunkt i $\underset{―}{\underset{―}{({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{e}}},-{\displaystyle \frac{2}{e}})}}$.

Einars straffesparkkonkurranse

Einar er fotballspiller og har skrevet programmet nedenfor.

123456789101112131415from random import choice
#choice returnerer en tilfeldig verdi fra en liste

alternativer = ["bom", "bom", "bom", "treff", "treff"]
#liste med alternativer

skuddserie = 3
antall_treff = 0

for i in range(skuddserie):
	skudd = choice(alternativer)
	if skudd == "treff":
		antall_treff = antall_treff + 1
		
print(antall_treff/skuddserie)

Når Einar tar et straffespark, er sannsynligheten for at han scorer mål, $30\mathrm{\%}$.

Fasit

a) 0, 0,333, 0,666 eller 1,0
b) ${\displaystyle \frac{8}{125}}$
c) $2$ straffespark

Løsningsforslag

1-6a

Programmet kjører løkken for i in range(3) tre ganger. Hvert skudd gir enten "treff" (sannsynlighet $\frac{2}{5}$) eller "bom". Programmet skriver ut $\frac{\mathtt{\text{antall\_treff}}}{3}$.

Programmet kan skrive ut: 0, 0,333, 0,666 eller 1,0.

1-6b

Programmet skriver ut $1,0$ kun hvis alle tre skudd er treff:

$$P(\text{alle tre treff})={\left(\frac{2}{5}\right)}^3=\frac{8}{125}$$

$\underset{―}{\underset{―}{P={\displaystyle \frac{8}{125}}}}$

1-6c

Sannsynligheten for at Einar scorer minst ett mål på $n$ straffespark:

$$P(\text{minst ett mål})=1-0,7^n\ge 0,5$$$$0,7^n\le 0,5$$

Vi prøver:

• $n=1$: $1-0,7=0,30<0,5$
• $n=2$: $1-0,49=0,51\ge 0,5$ ✓

Einar må ta minst $\underset{―}{\underset{―}{2}}$ straffespark.

---

Eksponentiell modell for befolkningsvekst

Tabellen nedenfor viser folketallet i en bygd, noen år i perioden 1910–1935.

År	1910	1913	1919	1921	1925	1927	1931	1935
Folketall	800	963	1253	1511	1720	1879	2387	2774

Fasit

a) $F(t)\approx 820,6\cdot {\mathrm{1,051}}^t$, gyldighetsområde $t\in [0,25]$
b) Fra og med 1924 ($t\approx 13,5$)
c) Etter 25 år

Løsningsforslag

2-1a

Vi setter $t=0$ i 1910 og bruker eksponentiell regresjon på datapunktene:

$t$	$0$	$3$	$9$	$11$	$15$	$17$	$21$	$25$
$F$	$800$	$963$	$1253$	$1511$	$1720$	$1879$	$2387$	$2774$

Eksponentiell regresjon (f.eks. i GeoGebra) gir:

$$\underset{―}{\underset{―}{F(t)\approx 820,6\cdot {\mathrm{1,051}}^t}}$$

Grafen under viser at kurven passer godt til datapunktene ($R^2\approx 0,99$):

Gyldighetsområde: Modellen passer for dataene i perioden 1910–1935, det vil si $t\in [0,25]$. Utenfor dette tidsrommet kan vekstmønsteret endre seg og modellen mister gyldighet.

2-1b

Vekstfarten er den deriverte av $F$:

$$F^{\prime }(t)=820,6\cdot {\mathrm{1,051}}^t\cdot \ln (\mathrm{1,051})$$

Vi løser $F^{\prime }(t)=80$ i GeoGebra CAS:

CAS gir $t\approx 13,5$, dvs. fra og med $t=14$ (år 1924).

Befolkningen økte med mer enn 80 personer per år fra og med 1924 ifølge modellen.

2-1c

Gjennomsnittlig befolkningsvekst fra 1910 til år $t$ er ${\displaystyle \frac{F(t)-F(0)}{t}}$. Vi løser:

$$\frac{F(t)-820,6}{t}=80$$

i GeoGebra CAS:

CAS gir $t\approx 24,6$, så vi runder opp til $t=25$.

Det gikk $\underset{―}{\underset{―}{25\text{ år}}}$ (til 1935) før den gjennomsnittlige veksten fra 1910 var større enn 80 personer per år.

Stykkevis funksjon og kontinuitet

En funksjon $f$ er gitt ved

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x-2& x\le -2\\ 2x^3+2x^2-4x& -2<x<k\\ 4& x\ge k\end{array}\text{der }k\in ⟨-2,\to ⟩$$

Fasit

a) Ikke kontinuerlig (venstregrense $=-6$, høyregrense $=0$)
b) $k=-1$, $k=-\sqrt{2}$ eller $k=\sqrt{2}$

Løsningsforslag

2-2a

Vi sjekker grenser fra venstre og høyre i $x=-2$:

$$\underset{x\to -2^{-}}{lim}(2x-2)=2(-2)-2=-6$$$$\underset{x\to -2^{+}}{lim}(2x^3+2x^2-4x)=2(-8)+2(4)-4(-2)=-16+8+8=0$$

Siden $\underset{x\to -2^{-}}{lim}f(x)=-6\ne 0=\underset{x\to -2^{+}}{lim}f(x)$ eksisterer ikke grenseverdien i $x=-2$.

$f$ er ikke kontinuerlig i $x=-2$.

2-2b

For at $f$ skal være kontinuerlig i $x=k$ må:

$$\underset{x\to k^{-}}{lim}(2x^3+2x^2-4x)=4$$$$2k^3+2k^2-4k=4$$$$k^3+k^2-2k-2=0$$

Vi faktoriserer:

$$k^2(k+1)-2(k+1)=(k^2-2)(k+1)=0$$$$k=\sqrt{2},k=-\sqrt{2},k=-1$$

Alle tre verdiene er større enn $-2$ og dermed i gyldighetsområdet $k\in ⟨-2,\to ⟩$.

$\underset{―}{\underset{―}{k=\sqrt{2}}}$, $\underset{―}{\underset{―}{k=-\sqrt{2}}}$ eller $\underset{―}{\underset{―}{k=-1}}$

Sannsynlighet med drops

Sander, Henny og Kari har hver sin pose med drops. I alle posene er det 3 grønne, 8 gule og 7 røde drops.

Sander tar 2 tilfeldige drops fra sin pose.

Henny tar 3 tilfeldige drops fra sin pose.

Sander og Henny legger tilbake dropsene de tok i oppgave a og b. Alle tre tar så et drops fra hver sin pose.

Fasit

a) ${\displaystyle \frac{28}{153}}$
b) ${\displaystyle \frac{7}{34}}$
c) ${\displaystyle \frac{49}{324}}$

Løsningsforslag

Hver pose inneholder $3+8+7=18$ drops.

2-3a

Sander tar $2$ drops. Sannsynligheten for $2$ gule:

$$P(\text{2 gule})=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{2})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{18}{2})}=\frac{28}{153}$$

$\underset{―}{\underset{―}{P={\displaystyle \frac{28}{153}}}}$

2-3b

Henny tar $3$ drops. Sannsynligheten for én av hver farge:

$$P(\text{en av hver})=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{1})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{18}{3})}=\frac{3\cdot 8\cdot 7}{816}=\frac{168}{816}=\frac{7}{34}$$

$\underset{―}{\underset{―}{P={\displaystyle \frac{7}{34}}}}$

2-3c

Alle tre tar ett drops fra hver sin pose – uavhengige hendelser.

$$P(\text{alle samme})=P(\text{alle grønn})+P(\text{alle gul})+P(\text{alle rød})$$$$={\left(\frac{3}{18}\right)}^3+{\left(\frac{8}{18}\right)}^3+{\left(\frac{7}{18}\right)}^3=\frac{27+512+343}{5832}=\frac{882}{5832}=\frac{49}{324}$$

$\underset{―}{\underset{―}{P={\displaystyle \frac{49}{324}}}}$

Kostnad, pris og overskudd

En elevbedrift produserer og selger et produkt. Kostnaden $K(x)$ kroner ved produksjon og salg er gitt ved

$$K(x)=0,02x^2+60x+12000$$

Elevbedriften selger produktet for 100 kroner per enhet.

Elevbedriften klarer å forhandle ned de faste kostnadene til 8000 kroner. De produserer og selger nå 1000 enheter.

Fasit

a) $8000\mathrm{kr}$
b) $88\mathrm{kr}$

Løsningsforslag

2-4a

Inntekt per enhet er 100 kr. Overskuddet er:

$$O(x)=100x-K(x)=100x-0,02x^2-60x-12000=-0,02x^2+40x-12000$$

Vi finner maksimum ved å sette $O^{\prime }(x)=0$ og beregner i GeoGebra CAS:

CAS bekrefter at $O^{\prime }(x)=0$ i $x=1000$ og at $O(1000)=8000$.

Det største overskuddet er $\underset{―}{\underset{―}{8000\mathrm{kr}}}$, oppnådd ved produksjon og salg av 1000 enheter.

2-4b

Nye faste kostnader er 8000 kr. Ved salg av $x=1000$ enheter:

$$K(1000)=0,02\cdot {1000}^2+60\cdot 1000+8000=20000+60000+8000=88000\mathrm{kr}$$

For å unngå underskudd må inntektene dekke kostnadene:

$$1000\cdot p\ge 88000⟹p\ge 88$$

Den laveste prisen er $\underset{―}{\underset{―}{88\mathrm{kr}}}$ per enhet.

Luktintensitet og logaritmer

Beboerne i et boligområde klager på lukt fra et biogassanlegg. Kommunen tar luftprøver og vurderer værdata som vind og temperatur.

Prøvene analyseres, og hver prøve gis en luktverdi $C$. Denne luktverdien er gitt i luktenheter (odour units) per kubikkmeter ($\mathrm{OU}/{\mathrm{m}}^3$).

Sammenhengen mellom $C$ og luktintensiteten $I$ er gitt ved

$$I=1,4\cdot \lg (C)-0,3$$

Biogassanlegget er pålagt å forholde seg til tabellen nedenfor.

Luktintensitet ($I$)	Vurdering
$<1$	uproblematisk
$1$–$2$	akseptabelt
$2$–$3$	kan aksepteres kortvarig
$3$–$4$	plagsom lukt, bør begrenses
$>4$	plagsomt, tiltak kreves

Resultatet av prøvene viser luktverdier mellom $500\mathrm{OU}/{\mathrm{m}}^3$ og $1400\mathrm{OU}/{\mathrm{m}}^3$.

Biogassanlegget tar klagene på alvor og ønsker å redusere luktplagene.

Fasit

a) Ja ($I$ mellom $3,48$ og $4,10$)
b) $8,5\le C\le 44\mathrm{OU}/{\mathrm{m}}^3$

Løsningsforslag

2-5a

Vi beregner luktintensiteten $I=1,4\cdot \lg (C)-0,3$ for begge grenseverdiene:

CAS gir:

• $I(500)\approx 3,48$: «plagsom lukt, bør begrenses»
• $I(1400)\approx 4,10$: «plagsomt, tiltak kreves»

Prøvene viser luktintensiteter i området $3,48$ til $4,10$, noe som tilsvarer kategoriene «plagsom» og «tiltak kreves».

Ja, beboerne har grunnlag for å klage.

2-5b

For at luktintensiteten skal bli akseptabel, trenger vi $1\le I\le 2$. Vi løser i GeoGebra CAS:

CAS gir:

• $I=2$ gir $C\approx 44$
• $I=1$ gir $C\approx 8,5$

Nye prøver må vise luktverdier i intervallet $\underset{―}{\underset{―}{8,5\le C\le 44\mathrm{OU}/{\mathrm{m}}^3}}$ for at luktintensiteten skal bli akseptabel.

Terningspill og forventningsverdi

Ola spiller et spill med mange vanlige terninger. Spillet går over flere runder.

For å kaste terninger og spille bruker Ola programmet nedenfor.

1234567891011121314from random import randint
#randint(a,b) gir et tilfeldig heltall fra og med a til og med b

runder = 0
terninger = 100
while terninger > 0:
	for i in range(terninger):
		if randint(1,6) == 6:
			terninger = terninger + 3
		else:
			terninger = terninger - 1
	runder = runder + 1

print(runder)

Ola spiller mange ganger.

Fasit

a) Start med 100 terninger; 6 → +3, annet → −1; fortsett til 0 terninger
b) $\approx 8,5$ runder

Løsningsforslag

2-6a

Spilleregler:

• Spillet starter med 100 terninger.
• Hver runde kastes alle terningene (antallet er fast ved rundens start).
• For hvert kast som viser 6: legg til 3 terninger.
• For hvert kast som ikke viser 6: ta bort 1 terning.
• Etter at alle terningene er kastet, økes rundetelleren med 1.
• Spillet fortsetter til det ikke er noen terninger igjen.

2-6b

La $n$ være antall terninger ved starten av en runde. For hvert enkelt kast er:

$$\text{E}[\text{netto endring per terning}]=\frac{1}{6}\cdot 3+\frac{5}{6}\cdot (-1)=\frac{1}{2}-\frac{5}{6}=-\frac{1}{3}$$

Forventet antall terninger etter én runde: $n-{\displaystyle \frac{n}{3}}={\displaystyle \frac{2n}{3}}$

Etter $r$ runder er forventet antall terninger:

$$\text{E}[n_r]=100\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^r$$

Simulering av programmet over mange kjøringer gir et gjennomsnitt på ca. $8,5$ runder.

Det gjennomsnittlige antallet runder spillet vil vare, er $\underset{―}{\underset{―}{\approx 8,5}}$.