Derivasjon av eksponential og potensfunksjon

Fasit

Nullpunkter og ekstremalpunkter for g

En funksjon $g$ er gitt ved $g(x)=\frac{1}{2}{e}^x\cdot (2x-1{)}^2$

Fasit

Eksponential- og logaritmelikninger

Løs likningene

Fasit

Grenseverdier med algebraisk forenkling

Fasit

Løsningsforslag

a

Vi ser at nevneren går mot null når $x\to 3$, mens telleren går mot $3\cdot (9-3)=3\cdot 6=18$.

La oss se hva som skjer når vi nærmer oss $3$ fra venstre side. Jeg velger $x=2,5$ for å få en følelse for tallene.

$$\frac{3(2,5^2-3)}{2,5-3}=\frac{3(6,25-3)}{-0,5}=\frac{3\cdot 3,25}{-0,5}=-19,5$$

Hvis vi hadde valgt en verdi nærmere $3$ ville fått et enda mer ekstremt negativt svar.

$$\underset{x\to 3^{-}}{lim}\frac{3(x^2-3)}{x-3}=-\mathrm{\infty }$$

Når vi nærmer oss 3 fra høyre side så får vi (vi velger 3,5)

$$\frac{3(3,5^2-3)}{3,5-3}=\frac{3(12,25-3)}{0,5}=\frac{3\cdot 9,25}{0,5}\approx 55$$

Hvis vi hadde valgt et tall nærmere 3 ville vi fått et enda mer ekstremt positivt svar.

$$\underset{x\to 3^{+}}{lim}\frac{3(x^2-3)}{x-3}=\mathrm{\infty }$$

Grenseverdien eksisterer ikke siden grenseverdiene fra venstre og høyre side ikke stemmer overens.

Sannsynlighet for skytter Arne Treff

Skiskytter Arne Treff skal skyte en serie på tre skudd. Det har tidligere vist seg at Arne treffer på 80 % av skuddene sine. Vi antar at alle skuddene er uavhengige av hverandre.

Fasit

Kontinuitet av funksjoner med delt forskrift

Funksjonene $f$ og $g$ er gitt ved

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+2\text{,}& x<0\\ 2e^x\text{,}& x\ge 0\end{array}$$

og

$$g(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+2\text{,}& x<0\\ 1\text{,}& x=0\\ 2e^x\text{,}& x>0\end{array}$$

Fasit

Hengelåskode og simulering

Peder har glemt koden på hengelåsen sin. Koden består av tre sifre. Peder husker at sifrene 7, 8, 9 og 0 ikke er med i koden. Han bestemmer seg for å prøve seg fram.

Fasit

Funksjon med delt forskrift og ukjent ledd

Amalie arbeider med en funksjon $f$ med delt forskrift og skal vise funksjonsuttrykket til de andre i klassen. Dessverre har hun sølt på arket sitt og klarer ikke å lese alt som står der.

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}-9x-15\text{,}& x\le -2\\ ◼◼◼◼\text{,}& -2<x<1\\ {\displaystyle \frac{x^2}{2}}-x-{\displaystyle \frac{7}{2}}\text{,}& x\ge 1\end{array}$$

Hun husker at $f$ er kontinuerlig for alle $x\in \mathbb{R}$. Hun husker også at uttrykket i midten er et tredjegradspolynom. I tillegg husker hun at $f^{\prime }(-2)=-9$ og $f^{\prime }(1)=0$.

Fasit

Delen som mangler er $-{\displaystyle \frac{13}{27}}{x}^3+\frac{7}{9}{x}^2-\frac{1}{9}x-\frac{113}{27}$

Løsningsforslag

For at $f$ skal være kontinuerlig så må funksjonsverdien for $f(-2)=\underset{x\to -2^{+}}{lim}f(x)$ og $f(1)=\underset{x\to 1^{-}}{lim}f(x)$. Vi sjekker funksjonsverdiene.

$$\begin{array}{rl}f(-2)& =-9\cdot (-2)-15=18-15=3\\ f(1)& =\frac{1^2}{2}-1-\frac{7}{2}=\frac{1}{2}-\frac{2}{2}-\frac{7}{2}=-\frac{8}{2}=-4\end{array}$$

Tredjegradsfunksjonen vår bør altså gå mot $3$ når $x\to -2^{+}$ og $-4$ når $x\to 1^{-}$.

I tillegg skal $f^{\prime }(-2)=-9$ og $f^{\prime }(1)=0$. Disse opplysningen sier oss at $f$ må være deriverbar i $x=-2$ og $x=1$. Jeg setter opp uttrykket for en tredjegradsfunksjon i CAS i GeoGebra i linje 1 og legger inn de fire opplysningene våre i linje 2.

Det fullstendige funksjonsuttrykket for $f$ er

$$\underset{―}{\underset{―}{f(x)=\{\begin{array}{ll}-9x-15\text{,}& x\le -2\\ -{\displaystyle \frac{13}{27}}{x}^3+\frac{7}{9}{x}^2-\frac{1}{9}x-\frac{113}{27}\text{,}& -2<x<1\\ {\displaystyle \frac{x^2}{2}}-x-{\displaystyle \frac{7}{2}}\text{,}& x\ge 1\end{array}}}$$

Kombinatorikk med elever i arbeidsgruppe

Ti elever skriver navnet sitt på hver sin lapp. Elevene legger de ti lappene i en hatt. Fra hatten trekkes fire lapper tilfeldig. De fire elevene som trekkes ut, skal være med i en arbeidsgruppe.

Sju av de ti elevene er jenter. Resten er gutter.

Emma og Marie er to av jentene.

Fasit

Valgresultat og binomisk sannsynlighet

Ved kommunevalget i 2023 stemte 11,3 % på Fremskrittspartiet. Vi skal plukke ut 10 tilfeldige personer som stemte ved valget.

I en valgkrets var det totalt 243 som stemte. Bildet viser en oversikt over de fem partiene som fikk størst oppslutning i denne valgkretsen.

Også her skal vi plukke ut 10 tilfeldige personer blant dem som stemte.

Fasit

T-skjorter, inntekt og overskudd

En bedrift produserer og selger T-skjorter. Prisen $p(x)$ kroner per T-skjorte ved produksjon og salg av $x$ T-skjorter per uke er gitt ved

$$p(x)=-\mathrm{0,001}{x}^2+0,2x+100$$

De totale kostnadene $K(x)$ kroner per uke er gitt ved

$$K(x)=0,1x^2+8000$$

Bedriften ønsker å gjennomføre en kampanje hvor de en uke donerer 30 kroner per solgte T-skjorte til veldedighet.

Fasit

Oljefondet og eksponentiell modell

Oljefondet (Statens pensjonsfond utland) ble opprettet etter at vi fant olje i Nordsjøen. Formålet med oljefondet er å sikre framtiden i norsk økonomi.

Figuren nedenfor viser utviklingen av oljefondet fra og med 1998 til og med 2024.

I resten av oppgaven skal du bruke funksjonen $V$ gitt ved

$$V(t)=330\cdot \mathrm{1,178}{7}^t$$

som modell for den totale verdien av oljefondet i milliarder kroner $t$ år etter 1998.

Fasit