R1 eksamen H2024

Oversikt

Del 1 — 1 time — uten hjelpemidler

Oppgave	Navn	Temaer	Løsningsforslag
1-1	Derivasjon av eksponentialfunksjon	derivasjon, eksponentialfunksjoner	✔︎
1-2	Finne verdi programmet skriver ut	programmering, funksjonsdrøfting	✔︎
1-3	Eksponentiallikning med substitusjon	eksponentialfunksjoner, logaritmer, likninger	✔︎
1-4	Grenseverdi for rasjonalt uttrykk	grenseverdi, rasjonale funksjoner	✔︎
1-5	Koordinatvektorer, lengde og ortogonalitet	vektorer	❌
1-6	Identifiser funksjon fra vekstfart og derivert	gjennomsnittlig vekstfart, derivasjon, tolke grafer	✔︎

Del 2 — 4 timer — med hjelpemidler

Oppgave	Navn	Temaer	Løsningsforslag
2-1	Vannreservoar med eksponentiell funksjon	eksponentialfunksjoner, derivasjon, modellering	❌
2-2	Påstander om grenseverdi og deriverbarhet	grenseverdi, derivasjon, eksponentialfunksjoner	❌
2-3	Fiskepopulasjon og logistisk modell	eksponentialfunksjoner, logistisk funksjon, derivasjon, modellering	❌
2-4	Bestem grunntall i logaritmefunksjon	logaritmer, tolke grafer	❌
2-5	Omvendt funksjon fra graf	funksjoner, funksjonsdrøfting	❌
2-6	Posisjonsvektorer for småfugler og rovfugl	vektorer, derivasjon	❌

Del 1

Oppgave 1-1

Derivasjon av eksponentialfunksjon

Oppgave

Deriver funksjonen

$f (x) = \frac{e^{2 x}}{x}$

Fasit

Løsningsforslag

Funksjonen består av en brøk med funksjoner i både teller og nevner, så vi må bruke kvotientregelen når vi deriverer.

f (x) = \frac{u}{v} ⟹ f^{'} (x) = \frac{u^{'} v + u v^{'}}{v^{2}}

f^{'} (x) = \frac{2 e^{2 x} \cdot x + e^{2 x} \cdot 1}{x^{2}} = \underset{―}{\underset{―}{e^{2 x} \frac{2 x + 1}{x^{2}}}}

Oppgave 1-2

Finne verdi programmet skriver ut

Bruk en egnet strategi til å bestemme verdien som skrives ut når programmet nedenfor kjøres.

123456789def O(x):
    return -0.1*x**2 + 2000*x - 50000

x = 0

while O(x + 1) > O(x):
    x = x + 1

print(x)

Fasit

Løsningsforslag

Jeg ser at programmet består av en funksjon $O (x)$ som muligens er en overskuddsfunksjon. while-løkka i programmet kjører så lenge $O (x + 1) > O (x)$ , altså kjører løkka så lenge $O (x)$ stiger. Inni løkka økes $x$ -verdien med 1, altså vil programmet skrive ut $x$ -koordinaten til toppunktet til $O (x)$ .

Den enkleste måten å bestemme toppunktet på er å derivere $O$ og sette lik null.

\begin{aligned} O^{'} (x) & = - 0, 2 x + 2000 \\ - 0, 2 x + 2000 & = 0 \\ 0, 2 x & = 2000 \\ x & = 10 000 \end{aligned}

Programmet skriver ut 10 000.

Oppgave 1-3

Eksponentiallikning med substitusjon

Oppgave

Løs likningen

$100^{x} - 3 \cdot 10^{x} = 4$

Fasit

Løsningsforslag

Jeg ser at likningen består av tierpotenser.

\begin{aligned} 100^{x} - 3 \cdot 10^{x} & = 4 \\ {(10^{x})}^{2} - 3 \cdot 10^{x} - 4 & = 0 \end{aligned}

Dette ser jeg at kan skrives som en andregradslikning hvor $u = 10^{x}$ .

u^{2} - 3 u - 4 = 0 ⟹ \underset{Heltallsmetode}{\underset{⏟}{(u - 4) (u + 1) = 0}} ⟹ \underset{―}{u = 4 \lor u = - 1}

Vi bytter substituerer tilbake.

\begin{aligned} 10^{x} & = 4 \lor \underset{10^{x} er positivt}{\underset{⏟}{10^{x} = - 1}} \\ \log 10^{x} & = \log 4 \\ x & = \log 4 \end{aligned}

Løsningen er $\underset{―}{\underset{―}{x = \log 4}}$ .

Oppgave 1-4

Grenseverdi for rasjonalt uttrykk

Oppgave

Finn grenseverdien hvis den eksisterer.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + x - 12}{2 x^{2} - 18}$

Fasit

Løsningsforslag

Vi ser at både teller og nevner går mot uendelig når $x \to \infty$ . Vi kan altså bruke L'Hopitals regel.

lim_{x \to \infty} \frac{x^{2} + x - 12}{2 x^{2} - 18} = lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1}{4 x} = lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{4} = \frac{2 + 0}{4} = \frac{1}{2}

Grenseverdien er $\underset{―}{\underset{―}{\frac{1}{2}}}$ .

Oppgave 1-5

Koordinatvektorer, lengde og ortogonalitet

Fire vektorer er gitt ved $\vec{u} = [3, - 2]$ , $\vec{v} = [4, - 6]$ , $\vec{w} = [2, - 3]$ og $\vec{p} = [8, 12]$

Oppgave

Avgjør om noen av vektorene er
- like lange
- ortogonale

En vektor er gitt ved $\vec{q} = [2 a - 3, 1 + 3 b]$

Oppgave

Bestem $a$ og $b$ slik at $\vec{u} + 2 \vec{q} = [7, 5]$

Fasit

Oppgave 1-6

Identifiser funksjon fra vekstfart og derivert

I koordinatsystemet nedenfor ser du grafene til tre funksjoner, $f$ , $g$ og $h$ . En av funksjonene har gjennomsnittlig vekstfart lik $\frac{1}{2}$ i intervallet $[0, 4]$ , og derivert lik 1 når $x = 1$ .

Koordinatsystem med tre funksjoner f, g og h

Oppgave

Hvilken av funksjonene er dette? Husk å begrunne svaret ditt.

Fasit

Løsningsforslag

At den deriverte er lik 1 når $x = 1$ vil si at stigningstallet til tangenten til grafen når $x = 1$ skal være 1. Det utelukker funksjon $g$ som har stigningstall $\frac{1}{2}$ .

Funksjonen $h$ har gjennomsnittlig har null i gjennomsnittlig vekstfart i intervallet $[0, 4]$ , og dermed er også denne funksjonen utelukket.

Det er litt vanskelig å lese av stigningstallet til tangenten til $f$ i $x = 1$ , men det kan godt stemme at stigningstallet er 1. Den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet $[0, 4]$ er $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ .

Funksjon $\underset{―}{\underset{―}{f}}$ passer til beskrivelsen.

Del 2

Oppgave 2-1

Vannreservoar med eksponentiell funksjon

Et gammelt vannreservoar lekker vann. Mengden vann i reservoaret $V$ er gitt ved

V (t) = 10000 \cdot e^{- 0, 07 t} + 500

Her er $t$ antall timer etter lekkasjen startet, og mengden vann er målt i antall liter.

Oppgave

Hvor lang tid vil det gå før vannmengden er halvert?
Bestem $V^{'} (12)$ og $V^{″} (12)$ . Gi en praktisk tolkning av svarene.
Undersøk om $V$ har asymptoter, og gi en praktisk tolkning av verdien til eventuelle asymptoter.

Fasit

Oppgave 2-2

Påstander om grenseverdi og deriverbarhet

Avgjør om hver enkelt påstand nedenfor er sann eller usann. Forklar tydelig hvordan du har resonnert.

Oppgave

Påstand: Hvis $lim_{x \to \infty} f (x) = lim_{x \to \infty} g (x)$ og $lim_{x \to - \infty} f (x) = lim_{x \to - \infty} g (x)$ , så er $f (x) = g (x)$ .
Påstand: Funksjonen $f (x) = | x |$ er deriverbar for alle $x \in R$ , bortsett fra i $x = 0$ .
Påstand: For likningen $a^{x} = a^{y}$ , der $a \in R$ , er løsningen alltid $x = y$ .

Fasit

Oppgave 2-3

Fiskepopulasjon og logistisk modell

Forskere har registrert en ny fiskeart i en innsjø. I tabellen nedenfor ser du hvor mange fisk av arten det var i innsjøen noen måneder etter at arten først ble registrert.

Måneder etter første registrering	0	1	2	3	4	5	6	7	8
Antall tusen fisk	1	2,5	5,5	9	14	22	32	45	60

Fiskepopulasjonen kan beskrives med en modell på formen

A (t) = A_{0} \cdot k^{t}

der $A (t)$ er antall tusen fisk $t$ måneder etter første registrering.

Oppgave

Bestem $A_{0}$ og $k$ , og gi en praktisk tolkning av disse verdiene.

Fiskepopulasjonen kan også beskrives med en logistisk modell på formen

N (t) = \frac{B}{1 + \frac{B - N_{0}}{N_{0}} e^{- r \cdot t}}

$B$ er bæreevnen, $N_{0}$ er antall tusen fisk ved $t = 0$ og $r$ er vekstparameteren.

Oppgave

Bestem $N_{0}$ , $B$ og $r$ .
Bestem den deriverte til funksjonene du fant i oppgavene a) og b). Forklar hvordan vekstfarten endrer seg ifølge hver av de to modellene.
Hvilken modell mener du beskriver den praktiske situasjonen best? Hvor mange fisk vil det være 12 måneder etter første registrering, ifølge denne modellen?

Fasit

Oppgave 2-4

Bestem grunntall i logaritmefunksjon

I koordinatsystemet nedenfor ser du grafen til en funksjon $f$ gitt ved

f (x) = \log_{a} (x)

Graf av logaritmefunksjon med ukjent grunntall

Oppgave

Bestem $a$ . Husk å argumentere for at svaret ditt er riktig.

Fasit

Oppgave 2-5

Omvendt funksjon fra graf

Nedenfor ser du grafene til funksjonene $f$ , $g$ og $h$ .

Grafene til f, g og h

Oppgave

Avgjør og begrunn for hver av funksjonene om de har en omvendt funksjon.
Bestem funksjonsuttrykket og definisjonsmengden til den omvendte funksjonen i de tilfellene den eksisterer.

Fasit

Oppgave 2-6

Posisjonsvektorer for småfugler og rovfugl

To småfugler er ute og flyr. Posisjonen til de to fuglene er gitt ved

{\vec{r}}_{1} (t) = [- 10 + 6 t, 35 - 3 t] og {\vec{r}}_{2} (t) = [2 + 5 t, 4 t]

Tiden $t$ er målt i sekunder, og enhetene langs aksene er målt i meter.

Oppgave

Hvor fort flyr hver av de to småfuglene?
Hvor stor er avstanden mellom småfuglene når $t = 0$ ?
På hvilket tidspunkt er småfuglene nærmest hverandre, og hvor langt unna hverandre er de da?

En rovfugl er også ute og flyr og oppdager småfuglene ved tidspunktet $t = 0$ . Posisjonen til rovfuglen de første 6 sekundene er gitt ved

{\vec{r}}_{R} (t) = [7 t - 10, 2 t^{2} - 6 t + 5]

Oppgave

Gjør nødvendige beregninger og beskriv jakten rovfuglen har på småfuglene.