R2 eksamen V2024

Oversikt

Del 1 — 2 timer — uten hjelpemidler

Oppgave	Navn	Temaer	Løsningsforslag
1-1	Bestemt integral og areal	integral, areal under graf	✔︎
1-2	Ubestemt integral med substitusjon	integral	❌
1-3	Ukjent program S2 v24	programmering, rekker	✔︎
1-4	Trekant og plan i rommet	vektorer, geometri	❌
1-5	Sinusfunksjon og egenskaper	trigonometri, funksjoner	❌

Del 2 — 3 timer — med hjelpemidler

Oppgave	Navn	Temaer	Løsningsforslag
2-1	Fotball hjørnespark og vektorer	vektorer, modellering	❌
2-2	Volum av pære med omdreiningslegeme	omdreiningslegeme, integral, volum	❌
2-3	Sensor for utelys og trigonometri	trigonometri, modellering, derivasjon	❌
2-4	Kubikktall og induksjonsbevis	rekursiv sammenheng, figurtall, programmering, bevis	❌
2-5	Kuleflate og plan	vektorer, geometri	❌
2-6	Sum av integralrekke	rekker, uendelig rekke, utforskning, funksjoner, integral	❌

Del 1

Oppgave 1-1

Bestemt integral og areal

En funksjon $f$ er gitt ved

f (x) = - x^{3} + 3 x

Oppgave

Regn ut integralet
$\int_{- 1}^{0} f (x) d x$
Bestem arealet av området som er avgrenset av grafen til $f$ , $x$ -aksen og linjene $x = - 1$ og $x = 1$

Fasit

a) $- \frac{5}{4}$
b) $\frac{5}{2}$

Løsningsforslag

1-1a

\begin{aligned} \int_{- 1}^{0} (- x^{3} + 3 x) d x \\ {[- \frac{1}{4} x^{4} + \frac{3}{2} x^{2}]}_{- 1}^{0} \\ 0 - (- \frac{1}{4} (- 1)^{4} + \frac{3}{2} (- 1)^{2}) \\ - (- \frac{1}{4} + \frac{3}{2}) & = - \frac{5}{4} \end{aligned}

Integralet er $\underset{―}{\underset{―}{- \frac{5}{4}}}$ .

1-1b

Jeg finner først nullpunktene ved å faktorisere uttrykket.

f (x) = - x^{3} + 3 x = - x (x^{2} - 3) = - x (x^{2} - {(\sqrt{3})}^{2}) = - x (x + \sqrt{3}) (x - \sqrt{3})

Vi har nullpunkter når $f (x) = 0$ . Det vil si at vi har nullpunkter når $x = - \sqrt{3}, x = 0, x = \sqrt{3}$ . Det er kun nullpunktet $x = 0$ som ligger mellom $x = - 1$ og $x = 1$ .

For å finne ut om funksjonen er positiv eller negativ i intervallene så sjekker jeg funksjonsverdien i $x = - 1$ og $x = 1$ .

f (- 1) = - (- 1)^{3} + 3 (- 1) = 1 - 3 = - 2

f (1) = - (1)^{3} + 3 \cdot 1 = - 1 + 3 = 2

Alternativ måte å sjekke hvor funksjonen er positiv og negativ

Siden integralet $\int_{- 1}^{0} f (x) d < 0$ og det ikke finnes noen nullpunkter for $x \in ⟨ - 1, 0 ⟩$ , så må $f$ være negativ når $x \in ⟨ - 1, 0 ⟩$

$f$ er altså negativ i intervallet $[- 1, 0 ⟩$ og positiv i intervallet $⟨ 0, 1]$ . Vi finner arealet ved å ta integralene av hver del (og husker minustegn foran integralet til området som ligger under $x$ -aksen).

\begin{aligned} A & = - \int_{- 1}^{0} f (x) d x + \int_{0}^{1} f (x) d x \\ A & = - (- \frac{5}{4}) + {[- \frac{1}{4} x^{4} + \frac{3}{2} x^{2}]}_{0}^{1} \\ A & = \frac{5}{4} + - \frac{1}{4} + \frac{3}{2} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} \end{aligned}

Arealet av området er $\underset{―}{\underset{―}{\frac{5}{2}}}$ .

Antisymmetri

Du kan utnytte antisymmetrien til $f$ til å argumentere for at arealet avgrenset av $x = - 1$ , $f$ , $x$ -aksen og $x = 0$ vil være like stort som arealet avgrenset av $f$ , $x$ -aksen, $x = 0$ og $x = 1$ .

Oppgave 1-2

Ubestemt integral med substitusjon

Oppgave

Regn ut integralet.

$\int \sin^{3} (x) \cdot \cos (x) d x$

Fasit

Løsningsforslag R2 eksamen V2024#Oppgave 1-2

Oppgave 1-3

Ukjent program S2 v24

En elev har laget programmet under.

12345678n = 0
S = 0

while S <= 200:
	n = n + 1
	S = S + 4*n - 2

print(n)

Oppgave

Forklar hva eleven prøver å finne ut.
Finn verdien eleven får skrevet ut når programmet kjøres.

Fasit

a) Delsummer av aritmetisk rekke hvor hvert ledd er gitt ved $a_{n} = 4 n - 2$
b) 11

Løsningsforslag

1-3a

Programmet viser en aritmetisk følge hvor hvert ledd er gitt av $a_{n} = 4 n - 2$ for $n > 0$ . Programmet regner ut delsummene, $S_{n}$ , til den tilhørende rekka.

Programmet finner ut hvilket ledd i rekka som gjør at delsummen blir over 200.

1-3b

Siden tallfølgen er aritmetisk kan vi regne ut summen av de $n$ første leddene med

S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2} n

Jeg vet at summen skal være over 200, at $a_{1} = 2$ og jeg kan erstatte $a_{n}$ med $4 n - 2$ . Dette gir

\begin{aligned} 200 & = \frac{2 + 4 n - 2}{2} n \\ 200 & = 2 n^{2} \\ 100 & = n^{2} \\ 10 & = n \end{aligned}

$n = 10$ gir oss altså nøyaktig delsummen $S_{10} = 200$ . $n = 11$ gir oss den første delsummen som er over 200.

Programmet skriver ut 11.

Oppgave 1-4

Trekant og plan i rommet

Vi har gitt punktene $A (1, 1, 0)$ , $B (4, 1, 1)$ og $C (2, 0, - 1)$ .

Oppgave

Bestem arealet av trekanten $△ A B C$ .
Bestem avstanden fra punktet $C$ til linja gjennom $A$ og $B$ .

$A$ , $B$ og $C$ ligger i planet $α$ . Punktet $P$ har koordinatene $P (- 2, 1, 4)$ .

Oppgave

Lag en parameterframstilling for linja $ℓ$ som går gjennom punktet $P$ og står vinkelrett på planet $α$ .

En rett linje $m$ går gjennom punktet $P$ , er parallell med planet $α$ og skjærer $z$ -aksen i punktet $D$ .

Oppgave

Bestem koordinatene til $D$ .

Fasit

Løsningsforslag R2 eksamen V2024#Oppgave 1-4

Oppgave 1-5

Sinusfunksjon og egenskaper

Funksjonen $f$ er gitt ved

f (x) = 2 \cdot \sin (\frac{π}{6} x - \frac{π}{3}) - 1, D_{f} = ⟨ 0, 20 ⟩ .

Oppgave

Løs likningen $f (x) = 0$ .
Finn amplituden, likevektslinja, perioden og forskyvningen langs likevektslinja.

Fasit

Løsningsforslag R2 eksamen V2024#Oppgave 1-5

Del 2

Oppgave 2-1

Fotball hjørnespark og vektorer

En fotballspiller skal ta et hjørnespark (corner) på en fotballbane. Posisjonen $\vec{r}$ til ballen etter $t$ sekunder er gitt ved

\vec{r} (t) = [30 t, 5 t, 7 t - 4, 9 t^{2}] .

Her er posisjonen gitt i meter, og koordinatsystemet er lagt slik at origo er i hjørnet av fotballbanen, $x$ -aksen går langs kortsiden og $y$ -aksen går langs langsiden.

Oppgave

Hvor stor er farten til ballen idet den blir skutt?
Hvor langt fra hjørnemerket er ballen når den treffer fotballbanen igjen?
Hvor stor er farten til ballen når den er på sitt høyeste? Hvor høyt over fotballbanen er ballen da?

Fasit

Løsningsforslag R2 eksamen V2024#Oppgave 2-1

Oppgave 2-2

Volum av pære med omdreiningslegeme

Bildet nedenfor viser halve snittflaten til en pære som er skåret over på midten. Bildet er satt inn i et koordinatsystem. Enheten langs begge aksene er centimeter.

Pæresnitt i koordinatsystem

Oppgave

Bruk informasjonen i bildet til å bestemme det omtrentlige volumet av pæra.

Fasit

Løsningsforslag R2 eksamen V2024#Oppgave 2-2

Oppgave 2-3

Sensor for utelys og trigonometri

En sensor skal slå på utelyset foran ytterdøra til et hus. Lyset blir slått på $T (x)$ timer etter midnatt. $T (x)$ er gitt ved

T (x) = 4 \cdot \sin (0,005 5 π \cdot x - 0, 5 π) + 19.

$x$ er antall dager etter 31. desember 2023 slik at $x = 1$ svarer til 1. januar 2024. Tidspunktet sensoren slår på utelyset, varierer fra kl. 15:00 til kl. 23:00, og det varierer periodisk i løpet av et år. Den 1. april slår lyset seg på kl. 19:00.

Oppgave

Forklar hvordan de ulike verdiene i modellen $T (x)$ passer med opplysningene gitt ovenfor.
Når i 2024 vil tidspunktet da lyset slår seg på, flytte seg 3 minutter per dag?
Når endrer dette tidspunktet seg raskest, og hvor stor er endringen da?

Fasit

Løsningsforslag R2 eksamen V2024#Oppgave 2-3

Oppgave 2-4

Kubikktall og induksjonsbevis

De fem første kubikktallene er $1^{3}, 2^{3}, 3^{3}, 4^{3}$ og $5^{3}$ , se figuren over. La $S_{n}$ være summen av de $n$ første kubikktallene.

Oppgave

Beskriv den rekursive sammenhengen mellom $S_{n}$ og $S_{n + 1}$ . Bestem en eksplisitt formel for $S_{n}$ .
Lag et program som regner ut $S_{50}$ ved å bruke den rekursive sammenhengen du fant i oppgave a.
Bruk induksjonsbevis til å bevise den eksplisitte formelen for $S_{n}$ .

Fasit

a) $S_{n + 1} = S_{n} + (n + 1)^{3}$ og $S_{n} = \frac{1}{4} (n^{4} + 2 n^{3} + n^{2})$
b) $S_{50} = 1625625$

Løsningsforslag

2-4a

Jeg setter opp de første leddene og ser om jeg finner en rekursiv sammenheng som jeg kan bruke.

\begin{aligned} S_{1} & = 1^{3} \\ S_{2} & = 1^{3} + 2^{3} = S_{1} + 2^{3} \\ S_{3} & = 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} = S_{2} + 3^{3} \end{aligned}

Jeg ser at hvert ledd er det forrige leddet, pluss det neste kubikktallet. En rekursiv sammenheng mellom summene er altså

\underset{―}{\underset{―}{S_{n + 1} = S_{n} + (n + 1)^{3}}}

For å bestemme en eksplisitt formel brukte jeg regresjon i GeoGebra.

En eksplisitt formel for summene er

S_{n} = \underset{―}{\underset{―}{\frac{1}{4} (n^{4} + 2 n^{3} + n^{2})}}

2-4b

Jeg bruker følgende program

S = 0 # starter summen på 0

for n in range(1, 51):
	# kjører løkka 50 ganger
	S = S + n**3 #legger n^3 til S

print(S)

Programmet gir at $S_{50} = 1 625 625$ .

Oppgave 2-5

Kuleflate og plan

Punktene $A (1, 2, 1)$ og $B (3, 0, - 3)$ ligger på en kuleflate. $A B$ er en diameter til kuleflaten. Planet $γ$ er gitt ved likningen $x + 2 y + 2 z = 14$ .

Oppgave

Finn den minste avstanden fra kuleflaten til planet $γ$ .

Et plan $α$ har samme avstand til kuleflaten og er parallelt med planet $γ$ .

Oppgave

Bestem en likning for planet $α$ .

Fasit

Løsningsforslag R2 eksamen V2024#Oppgave 2-5

Oppgave 2-6

Sum av integralrekke

La $a_{1} > 0$ og la $S (x)$ være summen av ei rekke gitt ved

S (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{1} \cdot {(\int_{0}^{x} e^{- t} d t)}^{n}

Bestem $a_{1}$ slik at den minste mulige summen blir 1.