Vis løsningsforslag Last ned oppgaver (PDF) Last ned løsningsforslag (PDF)

S2 eksamen E22

Oversikt

Del 1 — 2 timer — uten hjelpemidler

Oppgave	Navn	Temaer	Løsningsforslag
1-1a	Bestemt integral	integral	❌
1-1b	Ubestemt integral	integral	❌
1-2	Aritmetisk mur	rekker	❌
1-3	Summen av ukjent uendelig geometrisk rekke	rekker	❌
1-4	Forventningsverdi og varians fra sannsynlighetsfordeling	sannsynlighet, forventningsverdi, varians, diskrete sannsynlighetsfordelinger	❌
1-6	Argumenter for hvorfor sette grensekostnad lik grenseinntekt	grenseinntekt og grensekostnad, økonomi	❌
1-7	Ukjent programkode	programmering, utforskning, funksjoner	❌

Del 2 — 3 timer — med hjelpemidler

Oppgave	Navn	Temaer	Løsningsforslag
2-2	Levetiden til lyspærer	kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger, forventningsverdi, sannsynlighet	✔︎
2-6	Simuler sannsynlighet for høyde over 175 cm	programmering, simulering, sannsynlighet, normalfordeling	❌

Del 1

Oppgave 1-1a

Bestemt integral

Regn ut integralet

\int_{0}^{1} (4 x^{2} + 3) d x

Fasit

$\frac{13}{3}$

Løsningsforslag

\int_{0}^{1} 4 x^{2} + 3 d x = {[\frac{4}{3} x^{3} + 3 x]}_{0}^{1} = \frac{4}{3} + 3 \cdot 1 - 0 = \frac{4}{3} + \frac{9}{3} = \underset{―}{\underset{―}{\frac{13}{3}}}

Oppgave 1-1b

Ubestemt integral

Regn ut integralet

\int 4 x \sqrt{x^{2} + 2} d x

Fasit

$\frac{4}{3} \cdot \sqrt{x^{2} + 2} \cdot (x^{2} + 2) + C = \frac{4}{3} (x^{2} + 2)^{\frac{3}{2}} + C$

Løsningsforslag

\begin{array}{r} \int 4 x \sqrt{x^{2} + 2} d x, u = x^{2} + 2 ⟹ \frac{d u}{d x} = 2 x ⟺ d u = 2 x d x \\ \int 2 \sqrt{u} d u = 2 \int u^{\frac{1}{2}} d u = 2 \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{4}{3} (x^{2} + 2)^{\frac{3}{2}} + C^{'} = \frac{4}{3} (x^{2} + 2) \sqrt{x^{2} + 2} + C^{'} \end{array}

Oppgave 1-2

Aritmetisk mur

a) Forklar hva det vil si at en rekke $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}$ er aritmetisk.

b) En murer skal lage en mur slik figuren viser. Bruk teorien om rekker til å bestemme hvor mange murstein mureren trenger, når han vet at det er totalt 20 rader med murstein.

Fasit

a) –
b) 210

Oppgave 1-3

Summen av ukjent uendelig geometrisk rekke

Summen av en uendelig geometrisk rekke konvergerer mot 6.

Summen av tre første leddene er $\frac{38}{9}$ .

Bestem summen av de fire første leddene.

Fasit

$\frac{130}{27}$

Løsningsforslag

1-3

Om oppgaveteksten

Denne oppgaven finnes i to ulike varianter (sannsynligvis på grunn av en skrivefeil i løsningsforslag eller oppgavesettet. Den ene varianten sier at summen av de tre første leddene er 38/9, mens den andre varianten sier at summen av de seks første leddene er 38/9. Løsningsmetoden min vil fungere uansett hvilken variant man tenker seg, men det er nok lurt å heller formel for sum av geometrisk rekke ( $s_{n} = a_{1} \frac{k^{n} - 1}{k - 1}$ ) enn min framgangsmåte dersom man får oppgitt summen av et høyt antall ledd. Min metode er enkel når du bare trenger å tenke på 3 ledd, men skal du ta hensyn til 100 så må du regne mye!

Oppgavetekst

Summen av en uendelig geometrisk rekke konvergerer mot 6.

Sum av tre første ledd er 38/9

Hva er sum av de fire første?

Løsningsforslag

Jeg kaller første ledd i rekka for $x$ . Vet da at de tre første leddene må være:

x + x k + x k^{2} = \frac{38}{9}

Som kan faktoriseres til

x (1 + k + k^{2}) = \frac{38}{9}

Summen for uendelig geometrisk rekke gir:

\frac{x}{1 - k} = 6

Løser den likningen for $x$ og setter inn i uttrykket for sum av 3 første ledd

x = 6 (1 - k)

6 (1 - k) (1 + k + k^{2}) = \frac{38}{9}

(1 - k) (1 + k + k^{2}) = \frac{38}{9 \cdot 6} = \frac{38}{54} = \frac{19}{27}

1 + k + k^{2} - k - k^{2} - k^{3} = \frac{19}{27}

1 - k^{3} = \frac{19}{27}

k^{3} = 1 - \frac{19}{27} = \frac{8}{27} \Rightarrow \underset{―}{k = \frac{2}{3}}

Vi har nå funnet $k$ og kan enkelt finne $x$ :

x = 6 (1 - k) = 6 (1 - \frac{2}{3}) = 6 \frac{1}{3} = 2

Ledd 4 må være:

x k^{3} = 2 \cdot \frac{8}{27} = \frac{16}{27}

Summen av de fire første leddene blir da summen av de tre første pluss dette fjerde leddet

\frac{38}{9} + \frac{16}{27} = \frac{114}{27} + \frac{16}{27} = \frac{130}{27}

Summen av fire første ledd er

\underset{―}{\underset{―}{\frac{130}{27}}}

Alternativ løsning

Fra formel for sum av uendelig geometrisk rekke vet vi at

\frac{a_{1}}{1 - k} = 6

Samtidig kan sum av de tre første leddene uttrykkes som

\frac{38}{9} = a_{1} \cdot \frac{k^{3} - 1}{k - 1}

Vi har altså to likninger og to ukjente, $a_{1}$ og $k$ .

Vi kan løse den første likningen for $a_{1}$ og sette inn i den andre likningen

a_{1} = 6 (1 - k)

\frac{38}{9} = 6 (1 - k) \cdot \frac{k^{3} - 1}{k - 1} = 6 \cdot \frac{(k^{3} - 1) (1 - k)}{k - 1}

Siden $(1 - k) = (- 1) \cdot (k - 1)$ så bytter jeg ut denne faktoren i telleren for å kunne forkorte brøken på høyre side. Samtidig deler jeg på 6 på begge sider.

\frac{38}{54} = \frac{(k^{3} - 1) (- 1) (k - 1)}{(k - 1)} = (k^{3} - 1) (- 1) = 1 - k^{3}

Vi kan nå løse likningen

\begin{aligned} \frac{38}{54} & = 1 - k^{3} \\ k^{3} & = 1 - \frac{38}{54} = \frac{16}{54} = \frac{8}{27} \\ k & = \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3} \end{aligned}

Når vi endelig har $k$ så kan vi finne $a_{1}$ med

a_{1} = 6 (1 - k) = 6 (1 - \frac{2}{3}) = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2

Og til slutt kan vi finne summen av de fire første leddene med sumformelen

s_{4} = a_{1} \cdot \frac{k^{4} - 1}{k - 1} = 2 \cdot \frac{{(\frac{2}{3})}^{4} - 1}{(\frac{2}{3}) - 1} = 2 \cdot \frac{\frac{16}{81} - 1}{\frac{2}{3} - 1} = 2 \cdot \frac{- \frac{65}{81}}{- \frac{1}{3}} = 2 \cdot \frac{\frac{65}{81}}{\frac{27}{81}} = \frac{130}{27}

Summen av de fire første leddene er

\underset{―}{\underset{―}{\frac{130}{27}}}

Oppgave 1-4

Forventningsverdi og varians fra diskret sannsynlighetsfordeling

En sannsynlighetsfordeling er gitt ved tabellen nedenfor.

$x$	0	1	2	3
$P (X = x)$	$0, 2$	$k$	$2 k$	$5 k$

Oppgave

Forklar hvorfor $k$ må være 0,1. Bestem forventningsverdien $E (X)$ .
Bestem variansen $Var (X)$

Fasit

a) $E (X) = 2$
b) $V a r (X) = 1, 4$

Løsningsforslag

1-4a

Summen av sannsynlighetene for alle utfallene skal være 1. Vi har dermed at

\begin{aligned} 0, 2 + k + 2 k + 5 k & = 1 \\ 8 k & = 0, 8 \\ k & = 0, 1 \end{aligned}

Forventningsverdien er gitt ved

\sum x \cdot P (X = x) = 0 + 1 \cdot 0, 1 + 2 \cdot 0, 2 + 3 \cdot 0, 5 = 2, 0

$k$ må være lik 0,1 og forventningsverdien $E (X) = 2$ .

1-4b

Variansen til $X$ er gitt ved

V a r (X) = \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - μ)^{2} \cdot P (X = x)

Dette er enklest å regne ut ved å bruke sannsynlighetsfordelingen:

$x$	0	1	2	3
$P (X = x)$	$0, 2$	$0, 1$	$0, 2$	$0, 5$
$(x_{i} - μ)^{2}$	$(0 - 2)^{2} = 4$	$(1 - 2)^{2} = 1$	$(2 - 2)^{2} = 0$	$(3 - 2)^{2} = 1$
$(x_{i} - μ)^{2} \cdot P (X = x)$	$4 \cdot 0, 2 = 0, 8$	$1 \cdot 0, 1 = 0, 1$	$0$	$1 \cdot 0, 5 = 0, 5$

Summen av kvadratavvikene er 1,4.

Variansen $\underset{―}{\underset{―}{Var (X) = 1, 4}}$ .

Oppgave 1-6

Argumenter for hvorfor sette grensekostnad lik grenseinntekt

Forklar hvorfor vi kan sette grensekostnad lik grenseinntekt når vi skal finne det største overskuddet.

Fasit

$O^{'} (x) = I^{'} (x) - K^{'} (x)$
$0 = I^{'} (x) - K^{'} (x) ⟺ I^{'} (x) = K^{'} (x)$

Oppgave 1-7

Ukjent programkode

En elev har skrevet følgende kode

123456789101112131415from math import sqrt            # importerer kvadratrotfunksjon
a = 0
b = 2
n = 10000

def f(x):
	return x**2 + 2

I = 0
h = (b - a)/n

for i in range(n):
	I = I + f(a + i*h)*h

print(round(I,3))

Oppgave

Forklar hva eleven ønsker å regne ut.
Hva blir det eksakte svaret på oppgaven eleven ønsker å løse?

Fasit

a) Eleven ønsker å beregne en tilnærmingsverdi for dette integralet $\int_{0}^{2} (x^{2} + 2) d x$
b) $\frac{20}{3}$

Del 2

Oppgave 2-2

Levetiden til lyspærer

Levetiden $T$ i timer til en tilfeldig lyspære av en bestemt type er en stokastisk variabel. Det viser seg at

P (T \leq t) = \int_{- \infty}^{t} f (x) d x

der tetthetsfunksjonen $f$ er gitt ved

f (t) = {\begin{cases} k \cdot e^{- 0,005 t}, & t > 0 \\ 0, & t \leq 0 \end{cases}

Oppgave

Vis at $k = 0,005$ .
Hva er sannsynligheten for at lyspærens levetid er mer enn 400 timer?

Forventningsverdien $μ$ til en kontinuerlig stokastisk variabel med tetthetsfunksjonen $f$ er gitt ved

μ = \int_{- \infty}^{\infty} x \cdot f (x) d x

Oppgave

Bestem forventningsverdien til $T$ .

Fasit

a) Løs likningen $\int_{0}^{\infty} k \cdot e^{- 0,005 t} d t = 1$
b) $\frac{1}{e^{2}}$
c) 200

Løsningsforslag

2-2a

Siden $f (t) = 0$ når $t \leq 0$ så vil

\int_{- \infty}^{0} f (t) d t = 0

Vi trenger derfor kun å bry oss tilfellet hvor $t > 0$ .

Vi vet at et krav til sannsynlighetsfordelinger er at summen av alle sannsynlighetene skal bli 1. For kontinuerlige sannsynlighetsfordelinger har vi altså

\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x = 1

I vårt tilfelle ønsker vi altså å bestemme $k$ slik at den tilfredsstiller likningen

\int_{0}^{\infty} k \cdot e^{- 0,005 t} d t = 1

Vi kan løse denne i GeoGebra eller vi kan integrere for hånd:

\begin{aligned} {[\frac{k}{- 0.005} \cdot e^{- 0.005 t}]}_{0}^{\infty} & = 1 \\ (\frac{k}{- 0.005} \cdot 0) - (\frac{k}{- 0.005} \cdot 1) & = 1 \\ \frac{- k}{- 0.005} & = 1 \\ k & = 0.005 \end{aligned}

Jeg har vist at $k = 0,005$

2-2b

Jeg kan bruke integralet av tetthetsfunksjonen til å beregne sannsynligheten. Sannsynligheten for at lyspæras levetid er mellom 0 og 400 timer er gitt ved

\int_{0}^{400} 0,005 \cdot e^{- 0,005 t} d t = 1 - \frac{1}{e^{2}}

Siden summen av sannsynlighetene for alle utfallene er 1 så kan vi finne sannsynligheten for at lyspæra varer mellom 400 og uendelig timer ved å ta

1 - (1 - \frac{1}{e^{2}}) = \frac{1}{e^{2}}

Sannsynligheten for at lyspæras levetid er mer enn 400 timer er $\frac{1}{e^{2}} \approx 0,135$ .

2-2c

Jeg bruker uttrykket for forventningsverdi som står i oppgaveteksten og beregner ved hjelp av GeoGebra:

μ_{T} = \int_{0}^{\infty} t \cdot 0,005 \cdot e^{- 0,005 t} d t = 200

Forventningsverdien for $T$ er $μ_{T} = 200$ timer.

Oppgave 2-6

Simuler sannsynlighet for høyde over 175 cm

På en skole er det 323 jenter og 301 gutter. La $X$ være høyden til en tilfeldig valgt jente og $Y$ være høyden til en tilfeldig valgt gutt. Vi antar at $X$ og $Y$ er normalfordelte med $μ_{X} = 168 cm$ , $μ_{Y} = 180 cm$ , $σ_{X} = 6 cm$ og $σ_{Y} = 8 cm$ .

Lag et program som du kan bruke til å simulere sannsynligheten for at en tilfeldig valgt elev er høyere enn 175 cm. Bestem denne sannsynligheten.

Programmeringshjelp

Denne hjelpen ble ikke gitt i oppgaveteksten!
For å trekke ut en tilfeldig normalfordelt elev så må du bruke et ekstern bibliotek som numpy eller random. Med import random kan du bruke følgende kode lagre høyden til én tilfeldig jenteelev som X: 👇
X = random.gauss(168, 6)

Fasit

Omtrent 41,6 %

Løsningsforslag

Her kommer tekst

import numpy as np
import random

n_x = 323
n_y = 301
mu_x = 168
mu_y = 180
s_x = 6
s_y = 8
grense = 175
antall_simuleringer = 10000

antall_gunstige = 0


</div></div>